Найти производную а) (4х³+2х) (5+4х²)

Чтобы найти производную функции \( y = (4x^3 + 2x)(5 + 4x^2) \), мы будем использовать правило произведения, которое гласит, что если \( y = u \cdot v \), то

\[ y' = u'v + uv' \]

где \( u = 4x^3 + 2x \) и \( v = 5 + 4x^2 \).

Сначала найдем производные \( u' \) и \( v' \):

1. Найдем \( u' \): \[ u = 4x^3 + 2x \\ u' = 12x^2 + 2 \]

2. Найдем \( v' \): \[ v = 5 + 4x^2 \\ v' = 8x \]

Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \), и \( v' \) в формулу для производной:

\[ y' = (12x^2 + 2)(5 + 4x^2) + (4x^3 + 2x)(8x) \]

Теперь упростим каждую часть.

Первую часть: \[ (12x^2 + 2)(5 + 4x^2) = 12x^2 \cdot 5 + 12x^2 \cdot 4x^2 + 2 \cdot 5 + 2 \cdot 4x^2 = 60x^2 + 48x^4 + 10 + 8x^2 = 48x^4 + 68x^2 + 10 \]

Теперь вторую часть: \[ (4x^3 + 2x)(8x) = 4x^3 \cdot 8x + 2x \cdot 8x = 32x^4 + 16x^2 \]

Теперь соединим обе части: \[ y' = (48x^4 + 68x^2 + 10) + (32x^4 + 16x^2) = 48x^4 + 32x^4 + 68x^2 + 16x^2 + 10 = 80x^4 + 84x^2 + 10 \]

Таким образом, производная функции \( y = (4x^3 + 2x)(5 + 4x^2) \) равна: \[ y' = 80x^4 + 84x^2 + 10 \]