На одной половине доски Искандар написал три положительных числа a, b, c, каждое из которых не превосходит 10. После этого на второй половине доски он написал их всевозможные…

Давайте тщательно разберемся с задачей. У нас есть три положительных числа \( a, b, c \), каждое из которых не превышает 10. Исходя из условия, на второй половине доски Искандар записал їх попарные произведения: \( ab, ac, bc \).

Правильное решение состоит в том, чтобы найти такие \( a, b, c \), что множество чисел на левой половине доски (т.е. \( a, b, c \)) совпадало с множеством чисел на правой половине (т.е. \( ab, ac, bc \)).

Важно заметить, что числа \( a, b, c \) должны быть выбраны так, чтобы их попарные произведения были равны им самим, возможно в другой перестановке. Это можно выразить через систему уравнений.

1. Каждое произведение \( ab, ac, bc \) должно быть равно либо \( a, b, c \) (с учетом перестановки).
2. С учетом ограничений на \( a, b, c \), нужно искать такие их комбинации.

Теперь давайте проверим возможные значения для \( a, b, c \).

Сначала найдем варианты, предполагая, что одно из чисел (например, \( c \)) будет равно максимальному значению (10):

• Пусть \( c = 10 \).
• Затем мы можем попробовать различные значения для \( a \) и \( b \) от 1 до 10.

Вот некоторые вычисления:

1. Если \( a = 1 \) и \( b = 1 \):

   • \( ab = 1, ac = 10, bc = 10 \) (числа: 1, 10, 10). Не подходит, так как повторяется 10.

2. Если \( a = 2 \) и \( b = 5 \):

   • \( ab = 10, ac = 20, bc = 50 \) (числа: 2, 5, не подходит, т.к. произведения превышают 10).

3. Если \( a = 2 \) и \( b = 4 \):

   • \( ab = 8, ac = 20, bc = 40 \) (числа тоже превышают 10).

Для поиска более корректного варианта можно одновременно уменьшать значения \( a, b, c \).

После нескольких переборов мы можем прийти к заключению, что в итоге:

• Пусть \( a = 1, b = 3, c = 3 \):
  • Здесь \( ab = 3, ac = 3, bc = 9 \) (числа: 1, 3, 3, 9). Они совпадают, и сумма \( 1 + 3 + 3 = 7\).

Далее, необходимо искать максимум:

Таким образом, если провести все возможные варианты, то максимальная сумма, с которой совпадают произведения и сами числа может находиться в пределах (например, \( a=2, b=5, c=5 \)):

Тогда:

• \( a + b + c = 2 + 5 + 5 = 12 \).

Таким образом, наибольшее возможное значение суммы исходных чисел \( a + b + c \) составляет 12.