Log_2(x²+8)=log_26x
Чтобы решить уравнение \( \log_2(x^2 + 8) = \log_2(6x) \), сначала воспользуемся свойством логарифмов. Если логарифмы равны, то их аргументы также равны, при условии что они положительны. То есть:
\[ x^2 + 8 = 6x \]
Теперь переставим все члены уравнения в одну сторону:
\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант \( D \) считается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -6 \), и \( c = 8 \). Подставим значения:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Дискриминант положителен, а это значит, что у уравнения есть два различных корня. Корни находят по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
В нашем случае:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
Теперь вычислим корни:
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
Теперь у нас есть два потенциальных решения: \( x = 4 \) и \( x = 2 \). Однако, надо убедиться, что оба значения удовлетворяют условиям логарифмов (аргументы должны быть положительными).
Подставим \( x = 4 \):
\[ 6x = 6 \cdot 4 = 24 > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 8 = 4^2 + 8 = 16 + 8 = 24 > 0 \]
Подставим \( x = 2 \):
\[ 6x = 6 \cdot 2 = 12 > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 8 = 2^2 + 8 = 4 + 8 = 12 > 0 \]
Оба значения действительны. Следовательно, решения уравнения:
\[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = 4 \]
Это завершено! Если есть дополнительные вопросы или нужна дальнейшая помощь, не стесняйтесь спрашивать!
