Если к некоторому положительному числу прибавить 1001, затем извлечь корень из получившейся суммы, потом при- бавить 129, то получится число, которое в одиннадцать раз меньше исходного числа. Найдите исходное число. Если подходящих чисел несколько, запишите их без пробелов в порядке возрастания.

Давайте обозначим искомое положительное число буквой \( x \).

Согласно условию задачи, сначала к \( x \) прибавляем 1001:

\[ x + 1001 \]

Затем извлекаем квадратный корень из полученной суммы:

\[ \sqrt{x + 1001} \]

После этого прибавляем 129:

\[ \sqrt{x + 1001} + 129 \]

Согласно условию, это равно числу, которое в 11 раз меньше исходного числа \( x \):

\[ \sqrt{x + 1001} + 129 = \frac{x}{11} \]

Теперь мы можем выразить это равенство в виде уравнения:

\[ \sqrt{x + 1001} = \frac{x}{11} - 129 \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ x + 1001 = \left(\frac{x}{11} - 129\right)^2 \]

Распишем правую часть уравнения:

\[ x + 1001 = \left(\frac{x}{11}\right)^2 - 2 \cdot 129 \cdot \frac{x}{11} + 129^2 \]

Упрощая, получаем:

\[ x + 1001 = \frac{x^2}{121} - \frac{258x}{11} + 16641 \]

Теперь умножим все уравнение на 121, чтобы избавиться от дробей:

\[ 121x + 121 \cdot 1001 = x^2 - 2580x + 16641 \cdot 121 \]

Находим значение \( 16641 \cdot 121 \):

\[ 16641 \cdot 121 = 2019121 \]

Затем уравнение преобразуется в:

\[ 121x + 121121 = x^2 - 2580x + 2019121 \]

После упрощения приведем все к одной стороне:

\[ 0 = x^2 - 2580x - 121x + 2019121 - 121121 \]

Таким образом, получаем:

\[ 0 = x^2 - 2701x + 1898000 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2701)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1898000 \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 7295401 - 7592000 = -306599 \]

Дискриминант меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет действительных корней. В данном случае, независимые от действительных чисел.

Следовательно, не существует положительного числа \( x \), удовлетворяющего заданному условию.

Возможно, вы захотите проверить задачу еще раз или предоставить дополнительные предложения.