Log3(x-2)+log3(x+6)=1
Чтобы решить уравнение \( \log_3(x-2) + \log_3(x+6) = 1 \), мы можем воспользоваться свойствами логарифмов. Первое, что можно сделать, это использовать свойство, которое позволяет объединять логарифмы:
\[ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \]
Таким образом, преобразуем наше уравнение:
\[ \log_3((x-2)(x+6)) = 1 \]
Теперь мы знаем, что если \( \log_3(y) = 1 \), это означает, что \( y = 3^1 \), то есть \( y = 3 \). Соответственно, мы можем записать:
\[ (x-2)(x+6) = 3 \]
Далее раскроем скобки:
\[ x^2 + 6x - 2x - 12 = 3 \]
Упрощаем до:
\[ x^2 + 4x - 12 = 3 \]
Теперь перенесем 3 влево:
\[ x^2 + 4x - 15 = 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 16 + 60 = 76 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения. Найдем их по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{2} \]
Скорректируем это значение:
\[ \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \]
Таким образом:
\[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{2} = -2 \pm \sqrt{19} \]
Это дает нам два корня:
- \( x_1 = -2 + \sqrt{19} \)
- \( x_2 = -2 - \sqrt{19} \)
Теперь нужно проверить, подходят ли найденные значения для первоначального уравнения, так как логарифмы требуют, чтобы их аргументы были положительными.
Для \( x_1 = -2 + \sqrt{19} \):
- \( x_1 - 2 = \sqrt{19} - 4 \), что положительно, так как \( \sqrt{19} \approx 4.36 \).
- \( x_1 + 6 = \sqrt{19} + 4 \), что тоже положительно.
Для \( x_2 = -2 - \sqrt{19} \):
- \( x_2 - 2 = -2 - \sqrt{19} - 2 = -4 - \sqrt{19} \), что отрицательно.
- \( x_2 + 6 = -2 - \sqrt{19} + 6 = 4 - \sqrt{19} \), что тоже может быть отрицательным.
Таким образом, значение \( x_2 \) не подходит, и окончательный ответ:
\[ x = -2 + \sqrt{19} \]
