log3(x-3)≤2

Чтобы решить неравенство \( \log_3(x-3) \leq 2 \), начнем с преобразования логарифмического выражения в экспоненциальное.

1. Преобразуем неравенство: \[ \log_3(x-3) \leq 2 \implies x - 3 \leq 3^2 \]

2. Рассчитаем \( 3^2 \): \[ 3^2 = 9 \]

3. Теперь у нас есть: \[ x - 3 \leq 9 \]

4. Добавим 3 к обеим сторонам неравенства: \[ x \leq 12 \]

Теперь нужно учесть область определения логарифмической функции. Так как \( \log_3(x-3) \) определен только для \( x - 3 > 0 \), мы получаем: \[ x - 3 > 0 \implies x > 3 \]

Теперь свяжем оба условия:

1. \( x > 3 \)
2. \( x \leq 12 \)

Таким образом, объединяя эти условия, конечный ответ таков: \[ 3 < x \leq 12 \]

Это означает, что \( x \) принадлежит интервалу \( (3, 12] \).