Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 37. Найдите площадь поверхности этой пирамиды
Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно вычислить площадь её основания и площадь боковых граней.
Находим площадь основания: Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной 24. Площадь квадрата вычисляется по формуле:
\[ S_{основания} = a^2, \] где \(a\) — длина стороны квадрата.
Подставляем значение:
\[ S_{основания} = 24^2 = 576. \]
Находим площадь боковых граней: Боковые грани пирамиды – это равнобедренные треугольники. В этой пирамиде четыре боковые грани. Площадь одной боковой грани можно найти по формуле:
\[ S_{боковой \, грани} = \frac{1}{2} \times a \times h, \] где \(h\) – высота треугольника.
Чтобы найти высоту бокового треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора. В основании треугольника высота \(h\) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания квадрата (\( \frac{24}{2} = 12 \)) и боковым ребром длиной 37:
\[ h = \sqrt{37^2 - 12^2}. \]
Подсчитаем:
\[ h = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35. \]
Теперь подставим высоту в формулу площади боковой грани:
\[ S_{боковой \, грани} = \frac{1}{2} \times 24 \times 35 = 420. \]
Поскольку у нас четыре боковые грани, полная площадь боковых граней будет:
\[ S_{боковых \, граней} = 4 \times 420 = 1680. \]
Теперь находим общую площадь поверхности пирамиды:
\[ S_{поверхности} = S_{основания} + S_{боковых \, граней} = 576 + 1680 = 2256. \]
Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 2256 квадратных единиц.
