1. Перестановки п. 1. Сколькими способами можно рассадить пятерых детей на пяти стульях в столовой детского сада? 2. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди 6 (5, 7) учащихся класса в течение 6 (5, 7) дней? 3. Сколько различных семизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так чтобы: 1) последней была цифра 0, 2) первой была цифра 4, 3) первой цифра 3, последней цифра 5?

Давайте разберёмся с вашими вопросами, связанными с перестановками и комбинаторикой. 1. **Сколькими способами можно рассадить пятерых детей на пяти стульях в столовой детского сада?** Чтобы рассадить пятерых детей на пяти стульях, нам нужно найти количество перестановок из 5 элементов. Это можно сделать, используя факториал: \[ P(n) = n! \] Где \( n \) — это количество объектов, которые нужно переставить. В нашем случае: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. \] Таким образом, пятерых детей можно рассадить 120 способами. 2. **Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди 6 (5, 7) учащихся класса в течение 6 (5, 7) дней?** А) Если у нас 6 учащихся и дежурство устанавливается на 6 дней, то каждый день можно выбрать одного из 6 учащихся. Поскольку выбор не зависит от предыдущего (можно выбирать одного и того же человека несколько раз), мы можем записать: \[ 6^6 = 46656 \] Б) Если дежурство устанавливается на 5 дней среди 6 учащихся, это также может быть сделано следующим образом: \[ 6^5 = 7776. \] В) Если у нас 7 учащихся и дежурство на 7 дней: \[ 7^7 = 823543.\] Таким образом, у вас есть количество способов для установления дежурства в зависимости от количества учащихся и дней. 3. **Сколько различных семизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы:** 1) **Последней была цифра 0.** Если последней цифрой является 0, то для первых 6 цифр мы можем использовать оставшиеся 6 цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6). Всего существует \( 6! \) способов расположить эти цифры: \[ 6! = 720. \] 2) **Первой была цифра 4.** Если первой цифрой является 4, то для остальных 6 позиций у нас остается 6 цифр (0, 1, 2, 3, 5, 6). Первую позицию мы уже заняли, и на позицию, где стоит 0, мы можем размещать только в 5 других местах: Таким образом, у нас: \[ 5 \times 6! = 5 \times 720 = 3600. \] 3) **Первой цифрой 3, последней цифрой 5.** В этом случае первой будет 3, а последней 5. Оставшиеся цифры для промежуточных мест (0, 1, 2, 4, 6) составляют 5 цифр. Эти цифры можно расположить на 5 местах так: \[ 5! = 120. \] Итак, мы получили количество различных семизначных чисел для каждой конкретной ситуации. Если у вас возникли вопросы или нужно дополнительно объяснить какой-либо момент, дайте знать!