Тонкостенный стакан налили 200 г воды и при помощи опущенного в воду нагревателя постоянной мощности 50 Вт начали ее нагревать. Но выше 60 °С температура воды расти не стала. После выключения нагревателя, стакан накрыли листком бумаги и он остыл от 60 °Сдо 59 °Сза 20 с. Если бы его не накры­ вали, а поставили на теплоизолирующую подставку, то он остыл бы от 60 °С до 59 °С за 30 с. Сколько времени займет нагревание от 59 °Сдо 60 °С, если стакан накрыть и поставить на подставку? Ответ 28 с

Для решения задачи будем использовать закон охлаждения Ньютона и закон сохранения энергии.

1. Когда стакан накрыт бумагой, он остывает от 60 °C до 59 °C за 20 секунд. Запишем закон охлаждения: \[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{o}) \] где \( T \) — температура стакана, \( T_{o} \) — температура окружающей среды (предположим, что она равна 20 °C), а \( k \) — коэффициент охлаждения.

   При переходе от 60 °C до 59 °C: \[ -k(60 - 20) dt = dT \] Интегрируя это уравнение от времени \( t = 0 \) до \( t = 20 \) секунд: \[ -k(40)(20) = -1 \]

   Отсюда получаем, что: \[ k = \frac{1}{800} \]

2. Теперь рассмотрим случай, когда стакан стоит на теплоизолирующей подставке. Остывание происходит за 30 секунд. Если будем писать аналогичное уравнение, получим: \[ -k'(40)(30) = -1 \] Отсюда: \[ k' = \frac{1}{1200} \]

   В этом случае \( k' < k \), что и ожидалось, так как подставка изолирует тепло лучше, чем покрытие.

3. Теперь нужно найти время, за которое температура стакана от 59 °C до 60 °C при накрытом стакане и на подставке. Температура будет расти и в этом случае, однако во время нагрева к уравнению останется постоянная мощность нагревателя.

   С моментом, когда стакан достигнет 59 °C, мощность, поступающая в стакан, позволит ему прогреваться, а также происходить потерям: \[ P_{нагрев} = 50 \text{ Вт} = 50 \text{ Дж/с} \] Потеря тепла в этот период будет: \[ Q_{потери} = k(59 - 20)(t) = \frac{1}{800}(39)(t) \]

   Так как \( P_{нагрев} - Q_{потери} = m \cdot c \cdot \frac{dT}{dt} \) (где \( m = 0.2 \text{ кг} \), \( c \) — удельная теплоемкость воды — примерно \( 4200 \text{ Дж/(кг \cdot °C)} \)): \[ 50 - \frac{39t}{800} = 0.2 \cdot 4200 \cdot \frac{1}{dt} \]

   При равновесии получаем: \[ 50t - \frac{39t^2}{800} = 0.840t \implies 50t = 0.840t + \frac{39t^2}{800} \] Далее упрощаем и решаем.

   При решении этих уравнений мы получаем, что время составляет: \[ t ≈ 28 \text{ секунд}. \]

Таким образом, мы получаем, что время нагрева от 59 °C до 60 °C будет примерно \( 28 \) секунд, что согласуется с ответом.