Докажите четность или нечестность функции y=3tan(x)-sin(x)/cos(x)

Чтобы доказать, четная или нечетная функция \( y = 3\tan(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), нам нужно определить, изменяется ли функция при замене \( x \) на \( -x \).

1. Определим функцию: \[ y = 3\tan(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

2. Подставим \( -x \) в функцию: \[ y(-x) = 3\tan(-x) - \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} \]

3. Используем свойства тригонометрических функций:

   • Мы знаем, что \( \tan(-x) = -\tan(x) \), \( \sin(-x) = -\sin(x) \) и \( \cos(-x) = \cos(x) \).

   Подставим эти значения: \[ y(-x) = 3(-\tan(x)) - \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} \] \[ = -3\tan(x) + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \] \[ = -3\tan(x) + \tan(x) \] \[ = -3\tan(x) + \tan(x) = -4\tan(x) \]

   Обратите внимание, что \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), поэтому можно также записать: \[ = -4\tan(x) = -4\frac{\sin(x)}{\cos(x)}. \]

4. Сравним с исходной функцией: Исходная функция: \[ y(x) = 3\tan(x) - \tan(x) = 2\tan(x) \]

   Мы видим, что \( y(-x) \) не равна \( y(x) \). Также,: \[ y(-x) = -4\tan(x) \neq y(x) \]

5. Проверяем четность и нечетность: Если \( y(-x) = -y(x) \), то функция нечетная. В данном случае: \[ y(-x) \neq y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \neq -y(x). \]

Следовательно, функция \( y = 3\tan(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) является ни четной, ни нечетной.