Вы уже знаете, что N! = 1·2·3·...·N (например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120). Введем новую операцию «?», так что N? = 1! · 2! · ... · N! (например, 3? = 1! · 2! · 3! = 1 · 2 · 6 = 12) Найдите три последние цифры значения выражения: (1?+2?+3?+...+2023?+2024?)2

Question 1

Задача Задача №2071600

А

Аноним

02 ноября 2024 09:20 · публичный вопрос

А

Аноним 02 ноября 2024 09:20

Вы уже знаете, что N! = 1·2·3·...·N (например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120). Введем новую операцию «?», так что N? = 1! · 2! · ... · N! (например, 3? = 1! · 2! · 3! = 1 · 2 · 6 = 12) Найдите три последние цифры значения выражения: (1?+2?+3?+...+2023?+2024?)2

Answer

Чтобы найти последние три цифры значения выражения \((1? + 2? + 3? + \ldots + 2023? + 2024?)^2\), начнем с нахождения \(N?\) для различных \(N\).

Сначала определим \(N?\):

\[ N? = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots N! \]

Теперь рассчитаем несколько значений \(N?\):

Для \(N = 1\): \[ 1? = 1! = 1 \]
Для \(N = 2\): \[ 2? = 1! \cdot 2! = 1 \cdot 2 = 2 \]
Для \(N = 3\): \[ 3? = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 1 \cdot 2 \cdot 6 = 12 \]
Для \(N = 4\): \[ 4? = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 = 288 \]
Для \(N = 5\): \[ 5? = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120 = 17280 \]

Возвращаясь к общей формуле, давайте вычислим \(n?\) для \(N\) по мере увеличения, но нам нужно только последние три цифры. Если \(N\) станет достаточно большим, \(N!\) будет содержать много нулей в конце (например, 10! уже содержит два нуля), что повлияет на результаты.

Как только \(N\) достигает 10, каждое \(N?\) будет делиться на 1000, так как все \(N!\) от \(10!\) и выше содержат хотя бы две нуля. Таким образом, для \(N \geq 10\), \(N? \equiv 0 \mod 1000\).

Теперь давайте находим сумму:

\[ 1? + 2? + 3? + \ldots + 9? \]

Мы уже вычислили \(1?, 2?, 3?, 4?, 5?\):

\(6? = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120 \cdot 720 = 518400\)
\(7? = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120 \cdot 720 \cdot 5040 = 2620800000\) (достаточно для посчитать последние три цифры, это нули)
\(8? = 0\)
\(9? = 0\)

Таким образом, \(1? + 2? + 3? + 4? + 5? + 6? + 7? + 8? + 9? = 1 + 2 + 12 + 288 + 17280 + 518400 \equiv 1 + 2 + 12 + 288 + 280 \equiv 583 \mod 1000\).

Теперь добавим нули от \(10?\) до \(2024?\):

\[ S = 583 + 0 + ... + 0 = 583 \]

Теперь вычислим квадрат суммы:

\[ (1? + 2? + \ldots + 2024?)^2 \equiv 583^2 \mod 1000 \]

Теперь рассчитим:

\[ 583^2 = 339689 \]

Последние три цифры: 689.

Таким образом, ответ:

689.

Question 2

Вы уже знаете, что N! = 1·2·3·...·N (например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120). Введем новую операцию «?», так что N? = 1! · 2! · ... · N! (например, 3? = 1! · 2! · 3! = 1 · 2 · 6 = 12) Найдите три последние цифры значения выражения: (1?+2?+3?+...+2023?+2024?)2

Answer

Чтобы найти последние три цифры значения выражения \((1? + 2? + 3? + \ldots + 2023? + 2024?)^2\), начнем с нахождения \(N?\) для различных \(N\). Сначала определим \(N?\): \[ N? = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots N! \] Теперь рассчитаем несколько значений \(N?\): - Для \(N = 1\): \[ 1? = 1! = 1 \] - Для \(N = 2\): \[ 2? = 1! \cdot 2! = 1 \cdot 2 = 2 \] - Для \(N = 3\): \[ 3? = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 1 \cdot 2 \cdot 6 = 12 \] - Для \(N = 4\): \[ 4? = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 = 288 \] - Для \(N = 5\): \[ 5? = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120 = 17280 \] Возвращаясь к общей формуле, давайте вычислим \(n?\) для \(N\) по мере увеличения, но нам нужно только последние три цифры. Если \(N\) станет достаточно большим, \(N!\) будет содержать много нулей в конце (например, 10! уже содержит два нуля), что повлияет на результаты. Как только \(N\) достигает 10, каждое \(N?\) будет делиться на 1000, так как все \(N!\) от \(10!\) и выше содержат хотя бы две нуля. Таким образом, для \(N \geq 10\), \(N? \equiv 0 \mod 1000\). Теперь давайте находим сумму: \[ 1? + 2? + 3? + \ldots + 9? \] Мы уже вычислили \(1?, 2?, 3?, 4?, 5?\): - \(6? = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120 \cdot 720 = 518400\) - \(7? = 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120 \cdot 720 \cdot 5040 = 2620800000\) (достаточно для посчитать последние три цифры, это нули) - \(8? = 0\) - \(9? = 0\) Таким образом, \(1? + 2? + 3? + 4? + 5? + 6? + 7? + 8? + 9? = 1 + 2 + 12 + 288 + 17280 + 518400 \equiv 1 + 2 + 12 + 288 + 280 \equiv 583 \mod 1000\). Теперь добавим нули от \(10?\) до \(2024?\): \[ S = 583 + 0 + ... + 0 = 583 \] Теперь вычислим квадрат суммы: \[ (1? + 2? + \ldots + 2024?)^2 \equiv 583^2 \mod 1000 \] Теперь рассчитим: \[ 583^2 = 339689 \] Последние три цифры: 689. Таким образом, ответ: **689**.