Log _31 (31x+2) <= 1

Давайте решим неравенство \( \log_{31}(31x + 2) \leq 1 \).

1. Сначала преобразуем неравенство логарифмическим способом. Мы знаем, что \( \log_{a}(b) = c \) означает, что \( b = a^c \). Таким образом, из нашего неравенства получаем: \[ 31x + 2 \leq 31^1. \] Это упрощается до: \[ 31x + 2 \leq 31. \]

2. Теперь вычтем 2 из обеих сторон: \[ 31x \leq 31 - 2, \] что упрощается до: \[ 31x \leq 29. \]

3. Теперь поделим обе стороны на 31 (учтите, что 31 — положительное число, поэтому знак неравенства не изменится): \[ x \leq \frac{29}{31}. \]

4. Теперь у нас есть решение: \( x \) должно быть меньше или равно \( \frac{29}{31} \).

5. Также важно помнить, что выражение внутри логарифма должно быть положительным: \[ 31x + 2 > 0. \] Решим это неравенство: \[ 31x > -2 \implies x > -\frac{2}{31}. \]

6. Мы получили два условия:

   • \( x \leq \frac{29}{31} \)
   • \( x > -\frac{2}{31} \)

7. Объединим эти два результата, чтобы получить общее решение: \[ -\frac{2}{31} < x \leq \frac{29}{31}. \]

Таким образом, окончательное решение неравенства \( \log_{31}(31x + 2) \leq 1 \) выглядит следующим образом: \[ -\frac{2}{31} < x \leq \frac{29}{31}. \]

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или необходимо подробнее объяснить какой-либо этап решения, пожалуйста, дайте знать!