На одной половине доски Искандар написал три положительных числа а, b, c, каждое из которых не превосходит 10. После этого на второй половине доски он написал их всевозможные попарные произведения ab, ас, вс. Оказалось, что числа на правой половине доски совпадают с числами на левой половине доски (возможно с некоторой перестановкой). Какие числа могли быть изначально написаны на доске? В ответе напишите наибольшее возможное значение суммы исходных чисел (a + b + c)

Для решения этой задачи сначала обозначим три положительных числа, которые написал Искандар, как \( a \), \( b \) и \( c \). На второй половине доски он написал их попарные произведения: \( ab \), \( ac \) и \( bc \).

Условия задачи говорят о том, что эти попарные произведения совпадают с исходными числами \( a \), \( b \) и \( c \) (возможно, в другой последовательности). Это означает, что нужно решить уравнение:

\[ \{a, b, c\} = \{ab, ac, bc\}. \]

В данном случае нас интересует максимальная сумма \( S = a + b + c \).

Чтобы найти такие числа, можно начать с анализа, какое максимальное значение может принимать сумма чисел \( a, b, c \) при условии, что каждое число не превышает 10.

Рассмотрим несколько возможных вариантов. Мы можем заметить, что если одно из чисел равно 1, то два других числа должны быть равны их произведениям. Например:

1. Пусть \( a = 1 \), \( b = x \), \( c = y \). Тогда: \[ \{1, x, y\} = \{1 \cdot x, 1 \cdot y, x \cdot y\} = \{x, y, x \cdot y\}. \] Это означает, что либо \( x = x \cdot y \) (что возможно только при \( y = 1 \)), либо \( y = 1 \), либо \( x \) и \( y \) совпадают.

2. Попробуем использовать числа 2, 3 и 6, которые дают произведения:

   • \( ab = 2 \cdot 3 = 6 \)
   • \( ac = 2 \cdot 6 = 12 \) (недопустимо, так как 12 > 10)
   • \( bc = 3 \cdot 6 = 18 \) (также больше 10).

Следующий подход - использовать 1, 2 и 3:

• При \( a = 1, b = 2, c = 3 \):
  • \( ab = 1 \cdot 2 = 2 \)
  • \( ac = 1 \cdot 3 = 3 \)
  • \( bc = 2 \cdot 3 = 6 \)

Тогда у нас получаются: \[ \{1, 2, 3\} = \{2, 3, 6\} \quad \text{(не совпадает)}. \]

Теперь попробуем эти же числа, но в других сочетаниях.

Проверяя комбинации 1, 2 и 4:

• \( a = 1, b = 2, c = 4 \):
  • \( ab = 1 \cdot 2 = 2 \)
  • \( ac = 1 \cdot 4 = 4 \)
  • \( bc = 2 \cdot 4 = 8 \)

Сравниваем: \[ \{1, 2, 4\} \quad \text{и} \quad \{2, 4, 8\} \quad \text{(не совпадает)}. \]

Наконец, попробуем:

1. \( a = 2, b = 2, c = 2 \):
   • \( ab = 4, ac = 4, bc = 4 \) — не совпадает.

Итак, запишем наибольшее значение \( x = 1, y = 1, z = 3 \):

1. Проверим: \( 3 = 1 \cdot 3; 2 = 1 \cdot 2; 4 = 2 \cdot 2 \).

Таким образом, единственные подходящие числа, вписывающиеся в заданные условия, позволяют нам получать:

Наибольшее значение суммы:

• \( a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9. \)

Следовательно, наибольшее возможное значение суммы изначальных чисел: \[ \boxed{6} \] (при \( a = 1, b = 2, c = 3 \)).