Log_1/11 (2x-1)+ log_1/11 x >0
Чтобы решить неравенство \( \log_{1/11} (2x - 1) + \log_{1/11} x > 0 \), начнём с использования свойства логарифмов. Мы можем объединить два логарифма в один:
\[ \log_{1/11} ((2x - 1) \cdot x) > 0 \]
Теперь вспомним, что логарифм со основанием \( \frac{1}{11} \) будет положительным, если выражение внутри логарифма меньше 1, поскольку основание меньше 1. Таким образом, нам нужно решить неравенство:
\[ (2x - 1) \cdot x < 1 \]
Обозначим \( y = (2x - 1) \cdot x \). Теперь разложим это выражение:
\[ y = 2x^2 - x \]
Теперь решим неравенство:
\[ 2x^2 - x < 1 \]
Переносим 1 в левую часть:
\[ 2x^2 - x - 1 < 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
Корни будут:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
Квадратное неравенство \( 2x^2 - x - 1 < 0 \) будет выполняться между корнями. Таким образом, нужно проверить интервалы. Корни разделяют ось на три интервала: \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \), \( (-\frac{1}{2}, 1) \) и \( (1, +\infty) \).
Проверим знак в каждом интервале:
Если \( x < -\frac{1}{2} \) (например, \( x = -1 \)): \[ 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 \, (> 0) \]
Если \( -\frac{1}{2} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 2(0)^2 - 0 - 1 = -1 \, (< 0) \]
Если \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 \, (> 0) \]
Таким образом, неравенство \( 2x^2 - x - 1 < 0 \) выполняется на интервале:
\[ -\frac{1}{2} < x < 1 \]
Следует также учитывать ограничения для логарифма: \( 2x - 1 > 0 \) и \( x > 0 \). Первая неравенство приводит к \( x > \frac{1}{2} \).
Итак, совместив все условия, мы получаем:
\[ \frac{1}{2} < x < 1 \]
Это и есть решение неравенства.
