Вероятность того, что студент решит все задачи на контрольной 0.45 Какова вероятность, что из 10 студентов всю контрольную решат не более 2 человек? (С точностью до 2 знака после…

Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением. Мы знаем, что вероятность успешного исхода для одного студента, то есть того, что он решит все задачи, равна 0.45. Как следствие, вероятность того, что студент не решит все задачи, равна 1 - 0.45 = 0.55.

Рассматриваем 10 студентов, и хотим найти вероятность того, что не более 2 студентов решат все задачи. Это означает, что нас интересуют случаи, когда 0, 1 или 2 студента решают контрольную.

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее количество попыток (в нашем случае 10 студентов),
• \( k \) — количество успешных исходов (количество студентов, которые решат задачи),
• \( p \) — вероятность успеха (0.45),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь посчитаем вероятность для \( k = 0 \), \( k = 1 \) и \( k = 2 \):

1. Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0.45)^0 \cdot (0.55)^{10} \] \[ C(10, 0) = 1 \] \[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.55)^{10} \approx 0.0027 \]

2. Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.45)^1 \cdot (0.55)^9 \] \[ C(10, 1) = 10 \] \[ P(X = 1) = 10 \cdot (0.45) \cdot (0.55)^9 \approx 0.0224 \]

3. Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = C(10, 2) \cdot (0.45)^2 \cdot (0.55)^8 \] \[ C(10, 2) = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \] \[ P(X = 2) = 45 \cdot (0.45)^2 \cdot (0.55)^8 \approx 0.1005 \]

Теперь сложим эти вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что не более 2 студентов решат контрольную:

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X \leq 2) \approx 0.0027 + 0.0224 + 0.1005 \approx 0.1256 \]

Таким образом, вероятность того, что не более 2 студентов решат контрольную, составляет approximately 0.1256. С точностью до двух знаков после запятой это будет 0.13.