Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. найдите скорость течения реки простым способом
Для решения задачи начнем с обозначения переменных:
- Скорость катера в стоячей воде – \( V_k = 20 \) км/ч.
- Скорость течения реки – \( V_t \) км/ч.
Когда катер движется против течения, его эффективная скорость равна \( V_k - V_t \), а когда по течению – \( V_k + V_t \).
Сначала найдем время, затраченное катером на путь против течения и по течению.
Время против течения: \[ t_1 = \frac{S_1}{V_k - V_t} = \frac{36}{20 - V_t} \]
Время по течению: \[ t_2 = \frac{S_2}{V_k + V_t} = \frac{22}{20 + V_t} \]
Теперь по условию задачи сумма времени против течения и по течению равна 3 часам: \[ t_1 + t_2 = 3 \]
Подставим выражения для времени: \[ \frac{36}{20 - V_t} + \frac{22}{20 + V_t} = 3 \]
Теперь нужно решить это уравнение.
Умножим обе части на \( (20 - V_t)(20 + V_t) \) для устранения дробей: \[ 36(20 + V_t) + 22(20 - V_t) = 3(20 - V_t)(20 + V_t) \]
Раскроем скобки: \[ 720 + 36V_t + 440 - 22V_t = 3(400 - V_t^2) \]
Соберем все подобные слагаемые: \[ 1160 + 14V_t = 1200 - 3V_t^2 \]
Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 3V_t^2 + 14V_t - 40 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 \]
Дискриминант положительный, значит, у уравнения два корня: \[ V_t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 3} \] \[ V_t = \frac{-14 \pm 26}{6} \]
Найдем корни:
- \( V_t = \frac{12}{6} = 2 \) км/ч
- \( V_t = \frac{-40}{6} \) (отрицательное значение не подходит для скорости)
Таким образом, скорость течения реки составляет \( V_t = 2 \) км/ч.
