√z²-4z+4 + √z²+8z+16 при -4<z<2

Чтобы упростить выражение \( \sqrt{z^2-4z+4} + \sqrt{z^2 + 8z + 16} \), начнем с каждого квадратного корня отдельно.

1. Рассмотрим первый корень: \[ \sqrt{z^2 - 4z + 4} = \sqrt{(z-2)^2} = |z-2| \] Здесь мы используем, что \( z^2 - 4z + 4 \) можно представить как полный квадрат \( (z-2)^2 \).

2. Теперь второй корень: \[ \sqrt{z^2 + 8z + 16} = \sqrt{(z+4)^2} = |z+4| \] Аналогично, \( z^2 + 8z + 16 \) также представляется как полный квадрат \( (z+4)^2 \).

Теперь мы можем подставить полученные результаты назад в изначальное выражение: \[ |z-2| + |z+4| \]

Теперь нужно определить, как эти абсолютные значения будут вести себя на интервале \( -4 < z < 2 \).

1. Для \( z < 2 \):
   • \( |z-2| = 2 - z \) (поскольку \( z-2 < 0 \))
   • Для значения \( z > -4 \), \( |z+4| = z + 4 \) (поскольку \( z + 4 > 0 \))

Таким образом, для \( -4 < z < 2 \) у нас будет следующее упрощение: \[ |z-2| + |z+4| = (2 - z) + (z + 4) = 2 - z + z + 4 = 6 \]

Таким образом, значение выражения \( \sqrt{z^2-4z+4} + \sqrt{z^2+8z+16} \) при \( -4 < z < 2 \) равно \( 6 \).