На одной половине доски Искандар написал три положительных числа a, b, c, каждое из которых не превосходит 10. После этого на второй половине доски он написал их всевозможные попарные произведения ab, ac, bc. Оказалось, что числа на левой половине доски совпадают с числами на правой половине доски (возможно с некоторой перестановкой). Какие числа могли быть изначально написаны на доске? В ответе напишите наибольшее возможное значение суммы исходных чисел (a + b + c)

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим три положительных числа, написанные Искандаром, как \( a \), \( b \) и \( c \). На второй половине доски он записал попарные произведения: \( ab \), \( ac \), \( bc \). Условие задачи гласит, что набор чисел \( a, b, c \) совпадает с набором чисел \( ab, ac, bc \) (возможно с перестановкой).

Из этого условия мы можем записать следующее уравнение: \[ \{ a, b, c \} = \{ ab, ac, bc \} \] Это означает, что каждое из чисел \( a, b, c \) должно быть равно одному из произведений \( ab, ac, bc \).

Пусть \( a, b, c \) — это максимальные положительные числа, которые могут принимать значения до 10. Рассмотрим возможные варианты:

Попробуем, например, взять \( a = 10, b = 5, c = 2 \):

• Вычислим произведения:
  • \( ab = 10 \cdot 5 = 50 \)
  • \( ac = 10 \cdot 2 = 20 \)
  • \( bc = 5 \cdot 2 = 10 \)

Теперь сравним наборы:

• Набор исходных чисел: \( \{10, 5, 2\} \)
• Набор произведений: \( \{50, 20, 10\} \)

Эти наборы не равны.

Теперь попробуем \( a = 2, b = 2, c = 2 \):

• Вычислим произведения:
  • \( ab = 2 \cdot 2 = 4 \)
  • \( ac = 2 \cdot 2 = 4 \)
  • \( bc = 2 \cdot 2 = 4 \)

Наборы:

• Исходные числа: \( \{2, 2, 2\} \)
• Произведения: \( \{4, 4, 4\} \)

Эти наборы также не равны.

Теперь попробуем другие комбинации чисел. Найдём варианты с максимальной суммой:

Если взять \( a = 5, b = 5, c = 3 \):

• Произведения:
  • \( ab = 5 \cdot 5 = 25 \)
  • \( ac = 5 \cdot 3 = 15 \)
  • \( bc = 5 \cdot 3 = 15 \)

Наборы:

• Исходные: \( \{5, 5, 3\} \)
• Произведения: \( \{25, 15, 15\} \)

Эти наборы не равны.

Продолжая перебор, мы можем встретить числа 6, 3 и 2:

• \( a = 6, b = 3, c = 2 \):
• Произведения:
  • \( ab = 6 \cdot 3 = 18 \)
  • \( ac = 6 \cdot 2 = 12 \)
  • \( bc = 3 \cdot 2 = 6 \)

Наборы:

• Исходные: \( \{6, 3, 2\} \)
• Произведения: \( \{18, 12, 6\} \)

Также не совпадают.

Исходя из условий задачи, можно попробовать взять \( a = 3, b = 3, c = 3 \):

• Тогда произведения будут:
  • \( ab = 3 \cdot 3 = 9 \)
  • \( ac = 3 \cdot 3 = 9 \)
  • \( bc = 3 \cdot 3 = 9 \)

Наборы совпадают:

• Исходные: \( \{3, 3, 3\} \)
• Произведения: \( \{9, 9, 9\} \)

Таким образом, максимальная возможная сумма чисел \( a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9 \).

Однако, проделав аналогичные попытки с другими вариантами и стремясь достичь максимума, комбинация \( a = 4, b = 4, c = 2 \) дает:

• Произведения: \( ab = 16, ac = 8, bc = 8 \)
• Сумма: \( 4 + 4 + 2 = 10 \)

Таким образом, наибольшее возможное значение суммы исходных чисел \( a + b + c \) равно 10.