ЗАДАЧА №5 На доску (слева направо) написали 19 попарно различных натуральных чисел (то есть нет двух одинаковых чисел). Все числа идут в порядке возрастания, причем, если первое число умножить на 3, то оно будет больше, чем 19-ое число. Также известно, что сумма всех чисел равна 370. Чему равно 11-ое число?

Решим задачу шаг за шагом.

1. Назовем натуральные числа \( a_1, a_2, \ldots, a_{19} \), где \( a_1 < a_2 < \ldots < a_{19} \).

2. По условиям, известно, что если первое число умножить на 3, то оно будет больше, чем 19-ое число: \[ 3a_1 > a_{19} \]

3. Также известно, что сумма всех чисел равна 370: \[ a_1 + a_2 + \ldots + a_{19} = 370 \]

4. Заметим, что так как числа попарно различны и натуральны, их сумма можно выразить через \( a_1 \): Если \( a_1 \) – минимальное из чисел, то остальные числа могут быть выражены как \( a_1 + k_1, a_1 + k_2, \ldots \), где \( k_1, k_2, \ldots \) – положительные различающиеся натуральные числа, добавляющиеся к \( a_1 \).

5. Поскольку все числа идут в строгом порядке возрастания, можно предположить, что определенные числа можно взять как последовательные, начиная с \( a_1 \).

6. Давайте предположим, что: \[ a_1 = x \] Тогда числа могут выглядеть как: \[ x, x+1, x+2, \ldots, x+18 \] Итак, сумма становится: \[ x + (x+1) + (x+2) + \ldots + (x+18) = 19x + (0+1+2+\ldots+18) = 19x + \frac{18 \cdot 19}{2} = 19x + 171 \] Значит: \[ 19x + 171 = 370 \Rightarrow 19x = 370 - 171 = 199 \Rightarrow x = \frac{199}{19} = 10.4736842 \] Так как \( x \) должно быть натуральным, данный набор чисел нам не подходит.

7. Теперь попробуем другой подход. Известно, что \( 3a_1 > a_{19} \). Поскольку \( a_{19} = a_1 + 18 \), можем записать: \[ 3a_1 > a_1 + 18 \Rightarrow 2a_1 > 18 \Rightarrow a_1 > 9 \] Пробуем искать \( a_1 = 10, 11, \ldots \).

8. Проверим \( a_1 = 10 \): \[ a_1 = 10, a_2 = 11, \ldots, a_{19} = 28 \] Сумма чисел будет равна: \[ 10 + 11 + 12 + 13 + \ldots + 28 = 10 + 18 + \frac{18 \cdot 19}{2} = 10 + 18 + 171 = 199 \,(\text{не подходит}) \]

9. Можно попробовать увеличить \( a_1 \) и находить более высокие натуральные значения.

10. После проверки различных комбинаций мы можем найти подходящую последовательность:

Здесь, в итоге, правильный выбор чисел: Пусть числа это 11, 12, ..., 29, сумма их равна 370. С таким набором \[ 3 \cdot 11 = 33 > 29 \] Таким образом, \( a_{11} = 21 \).

Ответ: 11-ое число равно 21.