Докажите неравенство: (x+3)(x-3)+13>0

Чтобы доказать неравенство \((x+3)(x-3)+13>0\), начнём с упрощения левой части неравенства.

1. Раскроем скобки: \[(x+3)(x-3) = x^2 - 9\] Это следует из формулы разности квадратов.

2. Подставим полученное выражение в неравенство: \[x^2 - 9 + 13 > 0\]

3. Упростим: \[x^2 + 4 > 0\]

Теперь нам нужно исследовать выражение \(x^2 + 4\).

4. Поскольку \(x^2\) — это квадрат любого действительного числа, он всегда неотрицателен (\(x^2 \geq 0\)). Следовательно, минимум, который может принимать \(x^2\), равен 0.

5. При \(x^2 = 0\) (что происходит, когда \(x = 0\)), мы имеем: \[0 + 4 = 4 > 0\]

Таким образом, выражение \(x^2 + 4\) будет всегда больше 0 для всех действительных значений \(x\).

Мы можем сделать вывод, что неравенство \((x+3)(x-3)+13>0\) выполняется для любого \(x \in \mathbb{R}\).

Ответ: \((x+3)(x-3)+13 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\). Это неравенство всегда верно.