На доску слева направо написали 19 попарно различных натуральных чисел то есть нет двух одинаковых чисел все числа идут в порядке возрастания причём если первое число × 3 то оно будет больше чем 19-е число также известно что сумма всех чисел равна 370 чему равно 11-е число

Пусть 19 попарно различных натуральных чисел обозначены как \( a_1, a_2, \ldots, a_{19} \), и они упорядочены по возрастанию (\( a_1 < a_2 < \ldots < a_{19} \)).

Дано следующее:

• \( a_1 \times 3 > a_{19} \)
• Сумма числа равна 370: \( a_1 + a_2 + \ldots + a_{19} = 370 \)

Сначала выполним анализ чисел. Поскольку \( a_1 \times 3 > a_{19} \), это означает, что \( a_{19} < 3 a_1 \). Мы можем выразить \( a_{19} \) как \( a_{19} \geq a_1 + 18 \) (учитывая, что все числа различны и натуральные).

Рассмотрим \( a_1 \) и \( a_{19} \):

• Обозначим \( a_1 = x \), тогда \( a_{19} \) может быть не меньше \( x + 18 \) и не больше \( 3x - 1 \) (по неравенству).

Сначала найдем нижнюю границу для суммы 19 чисел. Если каждое число от \( a_1 \) до \( a_{19} \) устойчиво возрастает, то можем направить это как минимум на \( x, x+1, x+2, \ldots, x+18 \):

\[ S_{min} = x + (x + 1) + (x + 2) + \ldots + (x + 18) = 19x + (0 + 1 + 2 + \ldots + 18) = 19x + \frac{18 \times 19}{2} = 19x + 171 \]

Так как эта минимальная сумма должна быть меньше или равна 370, имеем:

\[ 19x + 171 \leq 370 \] \[ 19x \leq 199 \] \[ x \leq \frac{199}{19} \approx 10.4737 \] Мы можем взять \( x \) равным 10.

Теперь подставим \( x = 10 \): \[ S_{min} = 19 \cdot 10 + 171 = 190 + 171 = 361 \quad (\text{сумма не достигает 370}) \] Увеличим \( a_1 \) до 11. Пускай \( a_1 = 11 \):

\[ S_{min} = 19 \cdot 11 + 171 = 209 + 171 = 380 \quad (\text{это слишком много}) \]

Попробуем \( a_1 = 9 \): \[ S_{min} = 19 \cdot 9 + 171 = 171 + 171 = 342 \]

Это также маловато. Надо увеличить \( a_1 \) до 10 и изменять некоторые значения так, чтобы суммарно пришли к 370.

Так, если возьмём \( a_1 = 10, a_2 = 11, a_3 = 12, \ldots, a_{18} = 27 \) и обрабатываем \( a_{19} \) так, чтобы заполнить оставшиеся.

Для окончательной подстановки подойдет, что \( S = 370 \).

Тогда значения могут быть:

• \( 10, 11, 12, ..., 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 \) и \( 36 \)

Сумма: \[ 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 36 = 370 \]

Таким образом, 11-е число в этом ряду: \[ a_{11} = 20. \]

Ответ: \[ \text{11-е число равно } 20. \]