В офисе имеется 8 кондиционеров. Вероятность того, что в данный момент какой-то кондиционер включен составляет 0,3. Найдите вероятность того, что в данный момент времени включено 5 кондиционеров. Ответ округлите до сотых.
Чтобы решить задачу о вероятности включения 5 кондиционеров из 8, когда вероятность того, что один кондиционер включен, составляет 0,3, мы можем использовать формулу биномиального распределения.
Биномиальное распределение описывается формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что из \( n \) испытаний произойдет ровно \( k \) успешных исходов,
- \( C(n, k) \) — число сочетаний \( n \) по \( k \),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, вероятность того, что кондиционер включен),
- \( n \) — общее количество кондиционеров,
- \( k \) — количество кондиционеров, которые должны быть включены.
В нашем случае:
- \( n = 8 \),
- \( k = 5 \),
- \( p = 0,3 \),
- \( (1 - p) = 0,7 \).
Сначала находим число сочетаний \( C(8, 5) \):
\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56. \]
Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 5) = C(8, 5) \cdot (0,3)^5 \cdot (0,7)^{8-5}. \]
Рассчитаем:
- \( (0,3)^5 = 0,00243 \),
- \( (0,7)^3 = 0,343 \).
Теперь подставляем:
\[ P(X = 5) = 56 \cdot 0,00243 \cdot 0,343. \]
Считаем:
\[ P(X = 5) \approx 56 \cdot 0,00083469 \approx 0,0468. \]
Теперь округлим результат до сотых:
Ответ: \( P(X = 5) \approx 0,05 \).
Таким образом, вероятность того, что в данный момент времени включено 5 кондиционеров, составляет примерно 0,05.
