На доску (слева направо) написали 19 попарно различных натуральных чисел (то есть нет двух одинаковых чисел). Все числа идут в порядке возрастания, причем, если первое число умножить на 3, то оно будет больше, чем 19-ое число. Также известно, что сумма всех чисел равна 370. Чему равно 11-ое число?

Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения 19 различных натуральных чисел, которые расположены в порядке возрастания:

\( a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_{19} \).

Дано несколько условий:

1. Если первое число умножить на 3, оно больше 19-го числа: \[ 3a_1 > a_{19}. \]

2. Сумма всех чисел равна 370: \[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{19} = 370. \]

Так как числа различны и натуральные, начнем с выбора первого числа \( a_1 \). Поскольку числа возрастают, можно выразить остальные числа через \( a_1 \):

Обозначим \( a_1 = x \), тогда: \[ a_{19} > 3x, \]

поскольку первые числа будут считаться минимальными. Чтобы найти порядок, можно предположить, что следующее число \( a_2 \) не меньше \( x + 1 \), а \( a_{19} \) не больше чем \( 19 \)-ое число при максимальном наборе чисел.

Запишем сумму чисел в виде: \[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{19} = x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 18). \]

Это можно упростить до: \[ 19x + (0 + 1 + 2 + ... + 18) = 19x + \frac{18 \cdot 19}{2} = 19x + 171. \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ 19x + 171 = 370. \]

Решаем это уравнение: \[ 19x = 370 - 171, \] \[ 19x = 199, \] \[ x = \frac{199}{19} \approx 10.4737. \]

Поскольку \( x \) должно быть натуральным, мы округляем его до ближайшего натурального числа, то есть 11. Проверим: Сначала подставим \( x = 11 \): \[ a_1 = 11, \, a_2 = 12, \ldots, a_{19} = 29. \] Сумма: \[ 11 + 12 + 13 + ... + 29 = 19 \times 20 - 171 = 190 - 171 = 370. \] А также \[ 3a_1 = 33, \] что больше \( a_{19} \) (то есть 29).

Теперь мы можем найти \( a_{11} \): \[ a_{11} = 11 + 10 = 21. \]

Таким образом, 11-ое число равно 21.