Для решения задачи обозначим скорость поезда по расписанию как ( v ) км/ч. Тогда скорость поезда во время опоздания составит ( v + 10 ) км/ч.
По условию, поезд был задержан на 16 минут, что равняется (\frac{16}{60} = \frac{4}{15}) часа. Он должен был проехать 80 км, и ему необходимо было нагнать опоздание.
Сначала найдем время, которое потребовалось бы поезду для преодоления 80 км по расписанию:
[
t_{\text{по расписанию}} = \frac{80}{v}
]
Теперь найдем время, которое поезд затратил, чтобы нагнать опоздание, идя со скоростью ( v + 10 ):
[
t_{\text{фактическое}} = \frac{80}{v + 10}
]
По условию, фактическое время, затраченное на преодоление 80 км, на 16 минут (или (\frac{4}{15}) часа) меньше, чем время по расписанию:
[
t_{\text{фактическое}} = t_{\text{по расписанию}} - \frac{4}{15}
]
Подставим наши уравнения:
[
\frac{80}{v + 10} = \frac{80}{v} - \frac{4}{15}
]
Теперь умножим уравнение на ( 15v(v + 10) ), чтобы избавиться от дробей:
[
15v \cdot 80 = 15(v + 10) \cdot 80 - 4v(v + 10)
]
Упрощаем:
[
1200v = 1200(v + 10) - 4v^2 - 40v
]
Раскроем скобки:
[
1200v = 1200v + 12000 - 4v^2 - 40v
]
Сократим ( 1200v ) с обеих сторон:
[
0 = 12000 - 4v^2 - 40v
]
Преобразуем уравнение:
[
4v^2 + 40v - 12000 = 0
]
Поделим всё уравнение на 4:
[
v^2 + 10v - 3000 = 0
]
Теперь найдём корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100
]
Теперь вычислим корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 110}{2}
]
Находим два корня:
[
v_1 = \frac{100}{2} = 50 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-120}{2} = -60
]
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем значение ( v_1 ):
Скорость поезда по расписанию составляет 50 км/ч.
