Скорый поезд был задержан у семафора на 16 минут и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова скорость поезда…

Для решения задачи обозначим скорость поезда по расписанию как \( v \) км/ч. Тогда скорость поезда во время опоздания составит \( v + 10 \) км/ч.

По условию, поезд был задержан на 16 минут, что равняется \(\frac{16}{60} = \frac{4}{15}\) часа. Он должен был проехать 80 км, и ему необходимо было нагнать опоздание.

Сначала найдем время, которое потребовалось бы поезду для преодоления 80 км по расписанию:

\[ t_{\text{по расписанию}} = \frac{80}{v} \]

Теперь найдем время, которое поезд затратил, чтобы нагнать опоздание, идя со скоростью \( v + 10 \):

\[ t_{\text{фактическое}} = \frac{80}{v + 10} \]

По условию, фактическое время, затраченное на преодоление 80 км, на 16 минут (или \(\frac{4}{15}\) часа) меньше, чем время по расписанию:

\[ t_{\text{фактическое}} = t_{\text{по расписанию}} - \frac{4}{15} \]

Подставим наши уравнения:

\[ \frac{80}{v + 10} = \frac{80}{v} - \frac{4}{15} \]

Теперь умножим уравнение на \( 15v(v + 10) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 15v \cdot 80 = 15(v + 10) \cdot 80 - 4v(v + 10) \]

Упрощаем:

\[ 1200v = 1200(v + 10) - 4v^2 - 40v \]

Раскроем скобки:

\[ 1200v = 1200v + 12000 - 4v^2 - 40v \]

Сократим \( 1200v \) с обеих сторон:

\[ 0 = 12000 - 4v^2 - 40v \]

Преобразуем уравнение:

\[ 4v^2 + 40v - 12000 = 0 \]

Поделим всё уравнение на 4:

\[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]

Теперь найдём корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \]

Теперь вычислим корни:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 110}{2} \]

Находим два корня:

\[ v_1 = \frac{100}{2} = 50 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-120}{2} = -60 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем значение \( v_1 \):

Скорость поезда по расписанию составляет 50 км/ч.