Найди дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами. Знаменатель дроби на  9 больше числителя. Если из числителя вычесть  4, а к знаменателю прибавить  7, то дробь уменьшится на  1/7 ​ .

Решим задачу шаг за шагом.

Обозначим числитель дроби как \( x \), а знаменатель как \( y \). Согласно условию задачи, у нас есть следующие две информации:

1. Знаменатель на 9 больше числителя: \[ y = x + 9 \]

2. Если из числителя вычесть \( 4 \), а к знаменателю прибавить \( 7 \), то дробь уменьшится на \( \frac{1}{7} \): \[ \frac{x - 4}{y + 7} = \frac{x}{y} - \frac{1}{7} \]

Теперь подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе уравнение. Получим: \[ \frac{x - 4}{(x + 9) + 7} = \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7} \] Упрощаем: \[ \frac{x - 4}{x + 16} = \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7} \]

Теперь упростим правую часть. Приведем два дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7} = \frac{7x - (x + 9)}{7(x + 9)} = \frac{6x - 9}{7(x + 9)} \]

Теперь у нас есть следующее уравнение: \[ \frac{x - 4}{x + 16} = \frac{6x - 9}{7(x + 9)} \]

Теперь крест-накрест перемножим дроби: \[ 7(x - 4)(x + 9) = (x + 16)(6x - 9) \]

Раскроем скобки: \[ 7(x^2 + 9x - 4x - 36) = (6x^2 - 9x + 96x - 144) \] \[ 7(x^2 + 5x - 36) = 6x^2 + 87x - 144 \] Упрощаем: \[ 7x^2 + 35x - 252 = 6x^2 + 87x - 144 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 7x^2 - 6x^2 + 35x - 87x - 252 + 144 = 0 \] \[ x^2 - 52x - 108 = 0 \]

Теперь используем дискриминант для решения этого квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 2704 + 432 = 3136 \]

Теперь найдём корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 \pm 56}{2} \]

Корни:

1. \( x_1 = \frac{108}{2} = 54 \)
2. \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \) (не натуральное число)

Оставляем только положительное решение: \[ x = 54 \]

Теперь найдём \( y \): \[ y = x + 9 = 54 + 9 = 63 \]

Таким образом, дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами, равна: \[ \frac{54}{63} \]

Эта дробь соответствует всем условиям задачи.