Скорый поезд был задержан у семафора на 16 минут и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- \( v \) — скорость поезда по расписанию (в км/ч).
- \( v + 10 \) — фактическая скорость поезда, когда он нагоняет опоздание (в км/ч).
По условиям задачи, поезд задержался на 16 минут (или \( \frac{16}{60} \) часа, что равно \( \frac{4}{15} \) часа) и успел нагнать опоздание на перегоне в 80 км.
Во-первых, давайте найдем время, за которое поезд проходит 80 км со скоростью \( v + 10 \): \[ t_1 = \frac{80}{v + 10} \]
Теперь найдем время, за которое он должен был проехать 80 км по расписанию со скоростью \( v \): \[ t_2 = \frac{80}{v} \]
Разница во времени между этими двумя поездками равна задержке: \[ t_2 - t_1 = \frac{4}{15} \]
Теперь подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{80}{v} - \frac{80}{v + 10} = \frac{4}{15} \]
Чтобы упростить уравнение, найдем общий знаменатель: \[ \frac{80(v + 10) - 80v}{v(v + 10)} = \frac{4}{15} \]
Упростим числитель: \[ \frac{800}{v(v + 10)} = \frac{4}{15} \]
Теперь перекрестно умножим: \[ 800 \cdot 15 = 4 \cdot v(v + 10) \] \[ 12000 = 4(v^2 + 10v) \] \[ 12000 = 4v^2 + 40v \]
Разделим всё на 4: \[ 3000 = v^2 + 10v \]
Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \]
Корни уравнения находятся по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} \]
Находим \( \sqrt{12100} = 110 \), значит: \[ v = \frac{-10 \pm 110}{2} \]
Теперь решим для двух случаев:
- \( v = \frac{100}{2} = 50 \)
- \( v = \frac{-120}{2} = -60 \) (это решение нецелесообразно, так как скорость не может быть отрицательной).
Таким образом, скорость поезда по расписанию равна 50 км/ч.
