log(2x)(0,25) <= log2 (32x)-1

Чтобы решить неравенство \( \log_{2}(2x) \cdot 0.25 \leq \log_{2}(32x) - 1 \), начнем с преобразования его к более удобному виду.

1. Перепишем неравенство: \[ 0.25 \log_{2}(2x) \leq \log_{2}(32x) - 1 \]

2. Упростим \( \log_{2}(2x) \) и \( \log_{2}(32x) \):

   • Используем свойство логарифмов: \( \log_{a}(bc) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c) \).
   • Тогда \( \log_{2}(2x) = \log_{2}(2) + \log_{2}(x) = 1 + \log_{2}(x) \).
   • И \( \log_{2}(32x) = \log_{2}(32) + \log_{2}(x) = 5 + \log_{2}(x) \).

3. Подставим найденные значения в неравенство: \[ 0.25(1 + \log_{2}(x)) \leq (5 + \log_{2}(x)) - 1 \]

4. Упростим правую часть: \[ 5 + \log_{2}(x) - 1 = 4 + \log_{2}(x) \]

5. Теперь неравенство имеет следующий вид: \[ 0.25 + 0.25 \log_{2}(x) \leq 4 + \log_{2}(x) \]

6. Переносим все термины с \( \log_{2}(x) \) в одну сторону: \[ 0.25 \leq 4 + \log_{2}(x) - 0.25 \log_{2}(x) \] \[ 0.25 \leq 4 + 0.75 \log_{2}(x) \]

7. Вычтем 4 из обеих сторон: \[ 0.25 - 4 \leq 0.75 \log_{2}(x) \] \[ -3.75 \leq 0.75 \log_{2}(x) \]

8. Разделим обе стороны на 0.75 (поскольку 0.75 > 0, знак неравенства не меняется): \[ -5 \leq \log_{2}(x) \]

9. Преобразуем логарифмическое неравенство в экспоненциальное: \[ x \geq 2^{-5} \]

10. Вычислим \( 2^{-5} \): \[ x \geq \frac{1}{32} \]

Таким образом, решением данного неравенства является \( x \geq \frac{1}{32} \).