На доску (слева направо) написали 19 попарно различных натуральных чисел (то есть нет двух одинаковых чисел). Все числа идут в порядке возрастания, причем, если первое число умножить на 3, то оно будет больше, чем 19-ое число. Также известно, что сумма всех чисел равна 370. Чему равно 11-ое число?

Для решения задачи, начнем с представления натуральных чисел. Обозначим наименьшее из 19 чисел как \( a_1 \), и тогда остальные числа можно обозначить как \( a_2, a_3, \ldots, a_{19} \), где \( a_1 < a_2 < \ldots < a_{19} \). Учитывая условия задачи, можно записать:

1. \( 3a_1 > a_{19} \)
2. \( a_1 + a_2 + \ldots + a_{19} = 370 \)

Так как числа различны и идут в порядке возрастания, давайте предположим, что первое число \( a_1 \) равно \( x \). Тогда остальные числа можно представить как \( x + 1, x + 2, \ldots, x + 18 \). Соответственно, сумма этих чисел будет:

\[ x + (x + 1) + (x + 2) + \ldots + (x + 18) = 19x + (0 + 1 + 2 + \ldots + 18) \]

Сумма чисел от 0 до 18 равна:

\[ \frac{18 \cdot 19}{2} = 171 \]

Следовательно, сумма всех чисел равна:

\[ 19x + 171 = 370 \]

Теперь решим это уравнение для \( x \):

\[ 19x = 370 - 171 \] \[ 19x = 199 \] \[ x = \frac{199}{19} = 10.4737 \]

Так как \( x \) должно быть натуральным числом, нужно подбирать значение \( x \) так, чтобы \( 3x > a_{19} \), где \( a_{19} = x + 18 \).

Попробуем \( x = 11 \):

1. \( a_1 = 11 \)
2. \( a_2 = 12 \)
3. \( a_3 = 13 \)
4. \( a_4 = 14 \)
5. \( a_5 = 15 \)
6. \( a_6 = 16 \)
7. \( a_7 = 17 \)
8. \( a_8 = 18 \)
9. \( a_9 = 19 \)
10. \( a_{10} = 20 \)
11. \( a_{11} = 21 \)
12. \( a_{12} = 22 \)
13. \( a_{13} = 23 \)
14. \( a_{14} = 24 \)
15. \( a_{15} = 25 \)
16. \( a_{16} = 26 \)
17. \( a_{17} = 27 \)
18. \( a_{18} = 28 \)
19. \( a_{19} = 29 \)

Сумма этих чисел:

\[ 11 + 12 + 13 + \ldots + 29 = \sum_{k=11}^{29} k = \frac{(29 - 11 + 1)(11 + 29)}{2} = \frac{19 \cdot 40}{2} = 380 \]

Это не совпадает с нашей суммой 370. Теперь попробуем другое значение \( x = 10 \):

1. \( a_1 = 10 \)
2. \( a_2 = 11 \)
3. \( a_3 = 12 \)
4. \( a_4 = 13 \)
5. \( a_5 = 14 \)
6. \( a_6 = 15 \)
7. \( a_7 = 16 \)
8. \( a_8 = 17 \)
9. \( a_9 = 18 \)
10. \( a_{10} = 19 \)
11. \( a_{11} = 20 \)
12. \( a_{12} = 21 \)
13. \( a_{13} = 22 \)
14. \( a_{14} = 23 \)
15. \( a_{15} = 24 \)
16. \( a_{16} = 25 \)
17. \( a_{17} = 26 \)
18. \( a_{18} = 27 \)
19. \( a_{19} = 28 \)

Сумма будет:

\[ 10 + 11 + 12 + \ldots + 28 = \sum_{k=10}^{28} k = \frac{(28 - 10 + 1)(10 + 28)}{2} = \frac{19 \cdot 38}{2} = 361 \]

Это снова не 370.

Продолжив подбирать, можно использовать такие значения, как \( a_1 = 11, a_2 = 12, \ldots a_{18} = 28, a_{19} = 29 \), где:

Каждое из 19 чисел будет: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30.

Теперь мы можем посчитать \( a_{11} \) которое равно 21.

Таким образом, 11-ое число равно 21.