4. В первой урне находятся 8 красных и 3 синих шара, во второй урне – 6 красных и 5 синих шара, в третьей – 7 красных и 4 синих шаров. Из выбранной наугад урны наудачу взят шар.…

Для решения данной задачи используем теорему Байеса, которая позволяет находить условную вероятность.

Обозначим события:

• \( A_1 \): вытащен шар из первой урны
• \( A_2 \): вытащен шар из второй урны
• \( A_3 \): вытащен шар из третьей урны
• \( B \): шар оказался красным

Необходимо найти вероятность \( P(A_3 | B) \) — вероятность того, что шар вынут из третьей урны при условии, что он красный.

Сначала найдем все необходимые вероятности:

1. Общая вероятность вытащить красный шар из каждой урны:

   • Для первой урны: \( P(B | A_1) = \frac{8}{11} \) (из 8 красных и 3 синих, всего 11)
   • Для второй урны: \( P(B | A_2) = \frac{6}{11} \) (из 6 красных и 5 синих, всего 11)
   • Для третьей урны: \( P(B | A_3) = \frac{7}{11} \) (из 7 красных и 4 синих, всего 11)

2. Вероятности выбора каждой урны: Предположим, что каждая урна выбирается с равной вероятностью:

   • \( P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \)

3. Общая вероятность вытащить красный шар: Используем формулу полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_1) P(A_1) + P(B | A_2) P(A_2) + P(B | A_3) P(A_3) \] Подставляем значения: \[ P(B) = \frac{8}{11} \cdot \frac{1}{3} + \frac{6}{11} \cdot \frac{1}{3} + \frac{7}{11} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{8 + 6 + 7}{11} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{21}{11} = \frac{21}{33} = \frac{7}{11} \]

4. Наконец, находим \( P(A_3 | B) \): По формуле Байеса: \[ P(A_3 | B) = \frac{P(B | A_3) P(A_3)}{P(B)} \] Подставляем значения: \[ P(A_3 | B) = \frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{7}{11}} = \frac{1}{3} \]

Следовательно, вероятность того, что шар вынут из третьей урны, составляет \( \frac{1}{3} \).