Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик.Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов каждой коробке(если они не равны из большего вычел меньшее).Эти числа написал на коробках.Оказалось что было написано 13 разных чисел.Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно что общен количество красных шариков такое же, как общее количество синих

Для решения этой задачи начнём с обозначения:

• Пусть в \(i\)-й коробке будет \(b_i\) синих шариков, а \(r_i\) — красных шариков.
• Из условия задачи, в каждой коробке \(b_i \geq 1\) и \(r_i \geq 1\).
• Разница между количеством шариков разных цветов в \(i\)-й коробке обозначим как \(d_i = |b_i - r_i|\).

Поскольку Коля нашёл 13 различных значений \(d_i\), это означает, что разности \(d_i\) принимают значения от 0 до 12 (максимум, так как 13 - 1 = 12).

Кроме того, по условию задачи, общее количество синих и красных шариков равно. То есть:

\[ \sum_{i=1}^{13} b_i = \sum_{i=1}^{13} r_i. \]

Обозначим общее количество синих шариков как \(B\) и красных как \(R\). Из равенств выше следует, что \(B = R\).

Чтобы минимизировать общее количество шариков, нужно выбрать такие комбинации синих и красных шариков, чтобы числа \(d_i\) были различными и как можно меньшими. Для этого разумно задать:

• \(d_1 = 1\) (например, 2 синих и 1 красный),
• \(d_2 = 2\) (например, 3 синих и 1 красный),
• \(d_3 = 3\) (например, 4 синих и 1 красный),
• и так далее до \(d_{13} = 13\).

При таком выборе каждая коробка будет иметь разное количество шариков и минимизирует общее число шариков. Теперь посчитаем, сколько всего шариков в этом случае:

Для каждой коробки выбираем:

• \(b_1 = 2, r_1 = 1\) (итого 3),
• \(b_2 = 3, r_2 = 1\) (итого 4),
• \(b_3 = 4, r_3 = 1\) (итого 5),
• ...
• \(b_{13} = 13, r_{13} = 1\) (итого 14).

Итак, для \(i\)-й коробки мы можем выразить общее количество, учитывая, что мы хотим сохранить равенство между общими количеством синих и красных шариков и в каждой коробке по одному красному:

Общее количество красных шариков всегда будет равно 13 (по одному в каждой коробке), а количество синих шариков будет равно:

\[ B = 2 + 3 + 4 + ... + 14 = \sum_{k=2}^{14} k = \sum_{k=1}^{14} k - 1 = \frac{14 \cdot 15}{2} - 1 = 105 - 1 = 104. \]

Теперь пересчитаем:

Общее количество шариков будет:

\[ B + R = 104 + 13 = 117. \]

Таким образом, минимальное количество шариков в сумме во всех коробках составляет 117.