Апофема правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 8, радиус описанной около основания окружности равен 3. Найти косинус двугранного угла при основании пирамиды.

Для решения задачи найдем косинус двугранного угла при основании пирамиды SABCD.

1. Определение элементов:

   • Апофема пирамиды \(h = 8\).
   • Радиус описанной окружности основания (четырёхугольника ABCD) равен \(R = 3\).

2. Построение:

   • Описание двугранного угла при основании пирамиды подразумевает угол между двумя боковыми гранями, которые сходятся на ребре (например, на ребре AB).

3. Определение высоты основания:

   • Для правильной четырёхугольной пирамиды, основание представляет собой квадрат со стороны \(a\).
   • Радиус описанной окружности квадрата связан со стороной \(a\) следующим образом: \(R = \frac{a}{\sqrt{2}}\).
   • Отсюда, найдем сторону квадрата: \[ a = R \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}. \]

4. Определение высоты:

   • Высоту \(h\) можно использовать для нахождения косинуса угла. Поскольку высота опускается из вершины \(S\) перпендикулярно к центру основания, она образует прямоугольный треугольник со следующими элементами:
     • Высота \(h = 8\).
     • Половина стороны квадрата \(=\frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

5. Косинус угла: Для нахождения косинуса двугранного угла \(\alpha\) используем соотношение: \[ \cos(\alpha) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}} \] Подставляем значения: \[ \cos(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{8^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}}. \] Сначала вычислим квадрат половины стороны: \[ \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{18}{4} = 4.5. \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{64 + 4.5}} = \frac{8}{\sqrt{68.5}}. \] Упрощаем: \[ \sqrt{68.5} \approx 8.27. \] \[ \cos(\alpha) \approx \frac{8}{8.27} \approx 0.967. \]

Таким образом, косинус двугранного угла при основании пирамиды составляет примерно \(0.967\).