Даны вектор vec p(- 4; 3) vec d(2; 1) где vec m =-9 vec i vec q(6; a) . Найдите: а) косинус между векторами vec p и overline d ; b) число а, если векторы vec d и vec q коллинеарны; с) число а, если векторы vec p и vec q перпендикулярны

Давайте разберем вашу задачу по шагам.

а) Найдите косинус между векторами векторами \(\vec{p}\) и \(\overline{d}\).

Векторы \(\vec{p}\) и \(\overline{d}\) заданы как: \[ \vec{p} = (-4; 3), \quad \vec{d} = (2; 1) \]

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{d}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{d}|} \] где \(\vec{p} \cdot \vec{d}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{p}|\) и \(|\vec{d}|\) — длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{p} \cdot \vec{d} = (-4) \cdot 2 + 3 \cdot 1 = -8 + 3 = -5 \]

Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{p}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Теперь можем подставить значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \]

Ответ: \(\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{5}}\).

б) Найдите число \(a\), если векторы \(\vec{d}\) и \(\vec{q}\) коллинеарны.

Вектор \(\vec{q}\) задан как: \[ \vec{q} = (6; a) \]

Векторы коллинеарны, если существует скаляр \(k\), такой что: \[ \vec{d} = k \cdot \vec{q} \]

Это означает, что: \[ (2; 1) = k \cdot (6; a) \]

Из первого компонента: \[ 2 = 6k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь подставим \(k\) во второй компонент: \[ 1 = k \cdot a \quad \Rightarrow \quad 1 = \frac{1}{3} a \quad \Rightarrow \quad a = 3 \]

Ответ: \(a = 3\).

в) Найдите число \(a\), если векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \]

Скалярное произведение векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\): \[ \vec{p} = (-4; 3), \quad \vec{q} = (6; a) \] \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = (-4) \cdot 6 + 3 \cdot a = -24 + 3a \]

Чтобы векторы были перпендикулярны, должно выполняться: \[ -24 + 3a = 0 \] \[ 3a = 24 \quad \Rightarrow \quad a = 8 \]

Ответ: \(a = 8\).

Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, смело спрашивайте!