X/x(x-3)>0

Чтобы решить неравенство \( \frac{x}{x(x-3)} > 0 \), давайте проведем несколько шагов.

1. Преобразование неравенства: Мы можем переписать неравенство как \( \frac{1}{x-3} > 0 \) при условии, что \( x \neq 0 \). Обратите внимание, что \( x \) и \( x-3 \) должны быть не равны нулю.

2. Нахождение критических точек: Нужно найти точки, при которых дробь меняет знак. Критические точки здесь:

   • \( x = 0 \)
   • \( x = 3 \)

3. Анализ знаков интервалов: Теперь мы рассмотрим промежутки, деля числовую прямую на отрезки по критическим точкам:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

4. Определение знаков:

   • Для интервала \( (-\infty, 0) \) возьмем, например, \( x = -1 \): \[ \frac{-1}{-1(-1-3)} = \frac{-1}{-1 \cdot -4} = \frac{-1}{4} < 0 \]
   • Для интервала \( (0, 3) \) возьмем, например, \( x = 1 \): \[ \frac{1}{1(1-3)} = \frac{1}{1 \cdot -2} = \frac{1}{-2} < 0 \]
   • Для интервала \( (3, +\infty) \) возьмем, например, \( x = 4 \): \[ \frac{4}{4(4-3)} = \frac{4}{4 \cdot 1} = \frac{4}{4} = 1 > 0 \]

5. Объединение результатов: Мы получили следующие знаки:

   • В первом интервале \( (-\infty, 0) \): знак отрицательный.
   • Во втором интервале \( (0, 3) \): тоже знак отрицательный.
   • В третьем интервале \( (3, +\infty) \): знак положительный.

6. Заключение: Учитывая, что мы ищем при любом \( x \) для \( \frac{x}{x(x-3)} > 0 \), ответом будет интервал: \[ x \in (3, +\infty) \] Проблемы в точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \) не включаются в решение, так как в этих точках дробь либо обнуляется, либо не определена.

Таким образом, решением неравенства является \( x \in (3, +\infty) \).