найти область определения функции у=√х^2-4х-5
Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{x^2 - 4x - 5} \) необходимо определить, при каких значениях \( x \) подкоренное выражение \( x^2 - 4x - 5 \) является неотрицательным, так как корень квадратный из отрицательного числа не определён в пределах действительных чисел.
Сначала упростим подкоренное выражение:
\[ x^2 - 4x - 5 \]
Найдём корни этого квадратного уравнения, используя формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \). Подставляя значения, получаем:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \]
Таким образом, корни равны:
\[ x_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Теперь определим, на каких промежутках подкоренное выражение неотрицательное:
Рассмотрим знак выражения \( x^2 - 4x - 5 \) на промежутках, определённых корнями \( -1 \) и \( 5 \):
- Для \( x < -1 \): выберем, например, \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \]
- Для \( -1 < x < 5 \): выберем \( x = 0 \): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5 < 0 \]
- Для \( x > 5 \): выберем \( x = 6 \): \[ 6^2 - 4 \cdot 6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \]
Таким образом, \( x^2 - 4x - 5 \) положительно на промежутках \( (-\infty, -1] \) и \( [5, +\infty) \).
- Конечный ответ:
Область определения функции \( y = \sqrt{x^2 - 4x - 5} \) равна \( (-\infty, -1] \cup [5, +\infty) \).
