2^-x^2+2x+2≥8^-2 найти число целых решений неравенства

Давайте решим неравенство \(2^{-x^2 + 2x + 2} \geq 8^{-2}\).

Сначала упростим правую сторону. Мы знаем, что \(8 = 2^3\), поэтому:

\[ 8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}. \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ 2^{-x^2 + 2x + 2} \geq 2^{-6}. \]

Так как основания равны, мы можем сравнить показатели:

\[ -x^2 + 2x + 2 \geq -6. \]

Переносим -6 в левую часть неравенства:

\[ -x^2 + 2x + 2 + 6 \geq 0, \]

или

\[ -x^2 + 2x + 8 \geq 0. \]

Теперь умножим всё на -1, при этом изменяя знак неравенства:

\[ x^2 - 2x - 8 \leq 0. \]

Теперь найдём корни квадратного уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2. \]

Таким образом, у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -2\). Теперь мы рассмотрим промежутки, в которых неравенство выполняется.

Функция \(x^2 - 2x - 8\) – это парабола, открывающаяся вверх. Она принимает значения \( \leq 0 \) между корнями:

\[ -2 \leq x \leq 4. \]

Теперь определим целые значения \(x\) в этом диапазоне:

Целые решения: \(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\).

Это 7 целых решений.

Таким образом, количество целых решений неравенства равно 7.