1.Решите систему уравнений: 2x + y = 6; x - xy = - 2
Чтобы решить систему уравнений:
- \( 2x + y = 6 \)
- \( x - xy = -2 \)
начнем с первого уравнения и выразим \( y \) через \( x \):
\[ y = 6 - 2x \]
Теперь подставим это значение \( y \) во второе уравнение:
\[ x - x(6 - 2x) = -2 \]
Раскроем скобки:
\[ x - (6x - 2x^2) = -2 \]
Упрощаем выражение:
\[ x - 6x + 2x^2 = -2 \]
Соберем все члены в одно уравнение:
\[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Находим корни с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4} \]
Находим \( x_1 \) и \( x_2 \):
\[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим корни \( x \) обратно в выражение для \( y \):
Для \( x_1 = 2 \):
\[ y_1 = 6 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 \]
Для \( x_2 = \frac{1}{2} \):
\[ y_2 = 6 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 6 - 1 = 5 \]
Таким образом, у нас есть два решения системы:
- \( (x_1, y_1) = (2, 2) \)
- \( (x_2, y_2) = \left(\frac{1}{2}, 5\right) \)
Ответ:
\((2, 2)\) и \(\left(\frac{1}{2}, 5\right)\) — это решения данной системы уравнений.
