В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра AB, AA1 и AD равны 6 см, 4 см и 5 см соответственно. Найдите длину вектора DM, где М - середина ребра А1В1.

Чтобы найти длину вектора \( \vec{DM} \), где \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \), начнем с определения координат всех вершин параллелепипеда.

Рассмотрим координаты точек:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(6, 0, 0) \)
• \( C(6, 5, 0) \)
• \( D(0, 5, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 4) \)
• \( B_1(6, 0, 4) \)
• \( C_1(6, 5, 4) \)
• \( D_1(0, 5, 4) \)

Теперь найдем координаты точки \( M \), которая является серединой ребра \( A_1B_1 \). Координаты точки \( A_1 \) равны \( (0, 0, 4) \), а у точки \( B_1 \) — \( (6, 0, 4) \). Середина \( M \) будет рассчитываться как:

\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = (3, 0, 4) \]

Теперь рассмотрим точку \( D \) с координатами \( (0, 5, 0) \).

Вектор \( \vec{DM} \) можно записать следующим образом:

\[ \vec{DM} = M - D = (3, 0, 4) - (0, 5, 0) = (3, 0 - 5, 4 - 0) = (3, -5, 4) \]

Теперь найдем длину вектора \( \vec{DM} \). Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |\vec{DM}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Таким образом, длина вектора \( DM \) равна \( 5\sqrt{2} \) см.