Докажи, что число 10^72 - 1 является составным по признакам делимости
Чтобы доказать, что число \( 10^{72} - 1 \) является составным, можно воспользоваться признаком делимости на числа, имеющие отношение к разности квадратов и принципу делимости в общем.
Разложение числа: Выражение \( 10^{72} - 1 \) можно представить как разность квадратов. На что намекает формула разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
В нашем случае, нам следует написать: \[ 10^{72} - 1 = (10^{36} - 1)(10^{36} + 1) \]
Дополнительное разложение: Теперь рассмотрим первый множитель \( 10^{36} - 1 \). Это снова разность квадратов: \[ 10^{36} - 1 = (10^{18} - 1)(10^{18} + 1) \]
Продолжая этот процесс, можно разложить \( 10^{18} - 1 \) дальше: \[ 10^{18} - 1 = (10^9 - 1)(10^9 + 1) \]
Далее, \( 10^9 - 1 \): \[ 10^9 - 1 = (10^{4.5} - 1)(10^{4.5} + 1) \quad \text{(не можем сделать, так как 4.5 не целое)} \] Однако, мы можем использовать знаемое разложение как \( (10-1)(10^2 + 10 + 1)(10^3 + 1)(10^6 + 1)(10^{6} - 10^{3} + 1) \).
Составные множители: Поэтому число \( 10^{72} - 1 \) можно разложить на множители: \[ 10^{72} - 1 = (10^{36} - 1)(10^{36} + 1) = (10^{18} - 1)(10^{18} + 1)(10^{36} + 1) \] Продолжая это разложение, мы видим, что каждый из этих множителей, кроме \( 10^{36} + 1 \), также можно разложить дальше.
Вывод: Мы можем сказать, что \( 10^{72} - 1 \) является произведением нескольких целых чисел больше единицы. Следовательно, число \( 10^{72} - 1 \) не является простым, а составным.
Таким образом, мы показали, что число \( 10^{72} - 1 \) является составным по признакам делимости.
