На координатной плоскости заданы точки: А(1; - 6), В(-2; 4), С(-7; -3) и D(5; -2). Найдите длину вектора 2 • АС + 3 ВD

Чтобы найти длину вектора \( 2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD} \), сначала найдем векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{BD} \), а затем вычислим их нужные линейные комбинации.

1. Найдем вектор \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = C - A = (-7; -3) - (1; -6) = (-7 - 1; -3 + 6) = (-8; 3) \]

2. Найдем вектор \( \vec{BD} \): \[ \vec{BD} = D - B = (5; -2) - (-2; 4) = (5 + 2; -2 - 4) = (7; -6) \]

3. Теперь умножим векторы на соответствующие коэффициенты: \[ 2 \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-8; 3) = (-16; 6) \] \[ 3 \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (7; -6) = (21; -18) \]

4. Теперь сложим полученные векторы: \[ 2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD} = (-16; 6) + (21; -18) = (-16 + 21; 6 - 18) = (5; -12) \]

5. Теперь найдем длину вектора \( (5; -12) \) по формуле длины вектора: \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Таким образом, длина вектора \( 2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD} \) составляет \( 13 \).