найти точки экстремума: х = корень из (х-4)
Чтобы найти точки экстремума функции \(y = \sqrt{x - 4}\), сначала необходимо определить область определения функции и затем рассмотреть, где её производная равна нулю или не существует.
Область определения: Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4. \] Это значит, что область определения функции — это \(x \in [4, +\infty)\).
Нахождение производной: Теперь найдем производную функции \(y\): \[ y' = \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x - 4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x - 4}}. \]
Анализ производной: Производная \(y'\) определена для всех \(x > 4\) и равна нулю, только если присутствует особая точка. Однако \(\frac{1}{2\sqrt{x - 4}}\) не может быть равно нулю, так как числитель не равен нулю для \(x > 4\).
При \(x = 4\) производная стремится к бесконечности, так как \(\sqrt{x - 4}\) стремится к \(0\).
Проверка крайних точек: Поскольку производная не меняет знака на интервале \( (4, +\infty) \) и производная положительная, функция возрастает на этом интервале. Следовательно, у нас есть минимальная точка в \(x = 4\).
Таким образом, точка экстремума функции \(y = \sqrt{x - 4}\) находится в \(x = 4\), и это будет минимальной точкой. Значение функции в этой точке будет:
\[ y(4) = \sqrt{4 - 4} = 0. \]
Резюмируя, у нас есть один экстремум — минимум в точке \( (4, 0) \).
