19. y = root(x ^ 2, 3) - 1 . найти точки экстремума

Чтобы найти точки экстремума функции \( y = \sqrt[3]{x^2} - 1 \), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции. Для этого сначала упростим выражение: \[ y = (x^2)^{1/3} - 1 = x^{2/3} - 1. \]

2. Вычислим первую производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{2/3}) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}. \]

3. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и найдем, когда она не определена: \[ \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = 0 \quad \text{(такого не бывает, так как дробь не может быть равна нулю)}, \] производная не определена, когда \( x = 0 \).

4. Определим знак производной в окрестности критической точки. Возьмем значения \( x < 0 \) и \( x > 0 \):

   • Если \( x < 0 \), то \( y' < 0 \) (функция убывает).
   • Если \( x > 0 \), то \( y' > 0 \) (функция возрастает).

5. Таким образом, можно сделать вывод. При \( x = 0 \) функция меняет свой характер с убывания на возрастание, следовательно, в точке \( x = 0 \) находится минимальная точка функции.

6. Найдем значение функции в критической точке: \[ y(0) = \sqrt[3]{0^2} - 1 = -1. \]

Итак, точка экстремума функции — это минимальная точка \( (0, -1) \).