На равнобедренную стеклянную призму падает широкий параллельный пучок света, перпендикулярный грани АВ, ширина которой d =5 см. На каком расстоянии L от грани AВ преломленный призмой свет разделится на два не перекрывающихся пучка? Показатель преломления стекла n = 1,5, угол при основании призмы а = 0,1 рад. При расчетах учтите, что для малых углов, заданных в радианах, tg a=sin a=a.
Чтобы решить задачу, сначала необходимо разобраться с данными и понять, как свет преломляется в стеклянной призме.
Данные задачи:
- Ширина грани \( d = 5 \) см.
- Показатель преломления стекла \( n = 1.5 \).
- Угол при основании призмы \( \alpha = 0.1 \) рад.
Так как свет попадает на грань АВ перпендикулярно, преломление на этой грани не влияет на направление света. Однако, когда свет проходит через призму и попадает на границу с воздухом, он претерпевает преломление.
Для расчета расстояния \( L \) от грани АВ до точки, где свет разделится на два пучка, воспользуемся формулой преломления на границе двух сред, которая выражается по закону Снеллиуса:
\[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \]
где \( n_1 \) и \( n_2 \) – показатели преломления первой и второй среды соответственно, \( \theta_1 \) и \( \theta_2 \) – углы падения и преломления.
В нашем случае:
- \( n_1 = 1.5 \) (стекло)
- \( n_2 = 1 \) (воздух)
Так как \( \theta_1 \) в нашем случае равен углу преломления, равному углу при основании призмы \( \alpha \), можно написать:
\[ 1.5 \cdot \sin(0.1) = 1 \cdot \sin(\theta_2) \]
При малых углах \( \sin(\alpha) \approx \alpha \), то есть:
\[ 1.5 \cdot 0.1 = \sin(\theta_2) \]
Это дает:
\[ \sin(\theta_2) \approx 0.15 \]
Теперь рассчитаем угол преломления \( \theta_2 \):
\[ \theta_2 \approx \arcsin(0.15) \approx 0.15 \text{ рад} \quad (\text{для малых углов}) \]
Теперь нам необходимо узнать, на каком расстоянии \( L \) преломленный свет разделится на два не перекрывающихся пучка. Распределим преломленный угол по горизонтали:
\[ L = d \cdot \frac{1}{\tan(\theta_2)} \]
При использовании малых углов \( \tan(\theta_2) \approx \theta_2 \):
\[ L \approx d \cdot \frac{1}{\theta_2} = 5 \text{ см} \cdot \frac{1}{0.15} \approx 33.33 \text{ см} \]
Таким образом, расстояние \( L \) от грани АВ, на котором преломленный свет разделится на два не перекрывающихся пучка, составляет примерно \( 33.33 \) см.
