. разложить вектор х по векторам р, q, г если: x=(2; 3; 4), p=(0; -2; 4), q=(2; -2; -3), r=(2; 1; 1).

Чтобы разложить вектор \( \mathbf{x} = (2, 3, 4) \) по векторам \( \mathbf{p} = (0, -2, 4) \), \( \mathbf{q} = (2, -2, -3) \) и \( \mathbf{r} = (2, 1, 1) \), необходимо выразить вектор \( \mathbf{x} \) в виде линейной комбинации этих трёх векторов:

\[ \mathbf{x} = a \mathbf{p} + b \mathbf{q} + c \mathbf{r} \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нужно найти.

Для этого можем записать систему уравнений, исходя из компоненты векторов. Подставив векторы, получаем:

1. \( 0a + 2b + 2c = 2 \)
2. \(-2a - 2b + 1c = 3\)
3. \(4a - 3b + 1c = 4\)

Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными:

\[ \begin{cases} 2b + 2c = 2 \quad (1) \\ -2a - 2b + c = 3 \quad (2) \\ 4a - 3b + c = 4 \quad (3) \\ \end{cases} \]

Решим её. Начнём с первого уравнения:

Из уравнения (1) выразим \( c \): \[ c = 1 - b \quad (4) \]

Теперь подставим это значение в уравнения (2) и (3).

Подставляем \( c \) в уравнение (2):

\[ -2a - 2b + (1 - b) = 3 \] \[ -2a - 3b + 1 = 3 \] \[ -2a - 3b = 2 \quad (5) \]

Теперь подставим \( c \) в уравнение (3):

\[ 4a - 3b + (1 - b) = 4 \] \[ 4a - 4b + 1 = 4 \] \[ 4a - 4b = 3 \quad (6) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (5) и (6):

\[ \begin{cases} -2a - 3b = 2 \quad (5) \\ 4a - 4b = 3 \quad (6) \\ \end{cases} \]

Умножим (5) на 2: \[ -4a - 6b = 4 \quad (7) \]

Теперь сложим уравнения (6) и (7): \[ (-4a - 6b) + (4a - 4b) = 4 + 3 \] \[ -10b = 7 \] \[ b = -\frac{7}{10} \]

Теперь подставим значение \( b \) в уравнение (4) для нахождения \( c \): \[ c = 1 - \left(-\frac{7}{10}\right) = 1 + \frac{7}{10} = \frac{17}{10} \]

Теперь подставим \( b \) в уравнение (5) для нахождения \( a \): \[ -2a - 3\left(-\frac{7}{10}\right) = 2 \] \[ -2a + \frac{21}{10} = 2 \] \[ -2a = 2 - \frac{21}{10} = \frac{20}{10} - \frac{21}{10} = -\frac{1}{10} \] \[ a = \frac{1}{20} \]

Итак, мы нашли значения для \( a \), \( b \) и \( c \): \[ a = \frac{1}{20}, \quad b = -\frac{7}{10}, \quad c = \frac{17}{10} \]

Таким образом, вектор \( \mathbf{x} \) можно разложить по векторам \( \mathbf{p} \), \( \mathbf{q} \) и \( \mathbf{r} \) следующим образом:

\[ \mathbf{x} = \frac{1}{20} \mathbf{p} - \frac{7}{10} \mathbf{q} + \frac{17}{10} \mathbf{r} \]