Найти угол (в град) между плоскостями -3x-3y+3z -3 =0 и -7x-5y+6z = 0

Для нахождения угла между двумя плоскостями мы можем использовать нормальные векторы этих плоскостей. Плоскость задана уравнением вида \(Ax + By + Cz + D = 0\), где вектор \((A, B, C)\) представляет собой нормальный вектор плоскости.

Рассмотрим заданные плоскости:

1. \(-3x - 3y + 3z - 3 = 0\)
2. \(-7x - 5y + 6z = 0\)

Нормальные векторы:

• Для первой плоскости: \( \mathbf{n_1} = (-3, -3, 3) \)
• Для второй плоскости: \( \mathbf{n_2} = (-7, -5, 6) \)

Теперь, чтобы найти угол \( \theta \) между двумя плоскостями, нам нужно сначала найти угол между их нормальными векторами. Угол можно найти с помощью формулы:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|} \]

где \(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}\) — это скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{n_1}|\) и \(|\mathbf{n_2}|\) — длины векторов.

1. Найдем скалярное произведение \(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}\):

\[ \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (-3)(-7) + (-3)(-5) + (3)(6) = 21 + 15 + 18 = 54 \]

2. Теперь найдем длины векторов:

\[ |\mathbf{n_1}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

\[ |\mathbf{n_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 25 + 36} = \sqrt{110} \]

3. Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos \theta = \frac{54}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{110}} = \frac{54}{3\sqrt{330}} = \frac{18}{\sqrt{330}} \]

4. Найдем угол:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{18}{\sqrt{330}}\right) \]

Чтобы выразить угол в градусах, вам может потребоваться использовать калькулятор. Не забывайте, что угол между плоскостями равен \(90^\circ - \theta\), если вы находитесь в пределах остроугольных плоскостей.

Таким образом, угол между двумя плоскостями можно найти таким образом, и результат может быть получен с помощью тригонометрических функций.