Пусть ABCD — параллелограмм, E и F — середины противоположных сторон BC и AD , O — точка пересечения диагоналей. Взяв векторы 2 1 AD e AB e r r = = , за базисные, определить координаты векторов FC, EO .
Рассмотрим параллелограмм ABCD с вершинами A, B, C и D. Обозначим векторы как:
- \( \vec{AB} = \mathbf{b} \)
- \( \vec{AD} = \mathbf{a} \)
Параллелограмм определяет равенство противоположных сторон, следовательно, мы можем записать:
- \( \vec{BC} = \vec{AD} = \mathbf{a} \)
- \( \vec{CD} = \vec{AB} = \mathbf{b} \)
Теперь давайте найдем координаты точек E и F, где E и F - середины сторон BC и AD соответственно:
- Координаты точки E: так как E — середина отрезка BC, мы можем записать:
\[ \vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{b} + \vec{A} + \vec{b} + \vec{a}}{2} = \frac{2\vec{A} + \vec{b} + \vec{a}}{2} \]
- Координаты точки F: точка F — середина отрезка AD:
\[ \vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + \vec{a})}{2} = \frac{2\vec{A} + \vec{a}}{2} = \vec{A} + \frac{\vec{a}}{2} \]
Теперь найдем координаты векторов FC и EO.
- Вектор FC:
\[ \vec{FC} = \vec{C} - \vec{F} = \left(\vec{A} + \vec{b} + \vec{a}\right) - \left(\vec{A} + \frac{\vec{a}}{2}\right) = \vec{b} + \frac{\vec{a}}{2} \]
Таким образом, окончательная форма вектора FC будет:
\[ \vec{FC} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{a} \]
- Вектор EO:
Точка O — точка пересечения диагоналей. По свойствам параллелограмма, O делит каждую из диагоналей в отношении 1:1, поэтому:
\[ \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + \vec{b} + \vec{a})}{2} = \vec{A} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \]
Теперь находим вектор EO:
\[ \vec{EO} = \vec{O} - \vec{E} = \left(\vec{A} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right) - \left(\vec{A} + \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2}\right) = \mathbf{0} \]
Итак, в результате мы имеем:
- Вектор FC: \( \vec{FC} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{a} \)
- Вектор EO: \( \vec{EO} = \mathbf{0} \)
Если у вас будут вопросы по другим аспектам геометрии или векторов, с радостью помогу!
