Вычислите sin 105°

Чтобы вычислить sin 105°, можно использовать формулу синуса суммы углов.

105° можно представить как 90° + 15°. Тогда мы можем воспользоваться формулой:

\[ \sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \]

где \( a = 90° \) и \( b = 15° \).

Теперь подставляем значения:

\[ \sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0, \quad \sin 15° \text{ и } \cos 15° \text{ необходимо найти.} \]

Зная, что:

\[ \sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° - \cos 45° \cdot \sin 30° \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

И:

\[ \cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cdot \cos 30° + \sin 45° \cdot \sin 30° \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставляем эти значения в формулу для sin 105°:

\[ \sin 105° = \sin 90° \cdot \cos 15° + \cos 90° \cdot \sin 15° \] \[ = 1 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Таким образом, \( \sin 105° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).