Решите уравнение (2sin^2x+5sinx-3)log12(-cosx)=0
Для решения уравнения \( (2\sin^2 x + 5\sin x - 3)\log_{12}(-\cos x) = 0 \), начнём с рассмотрения каждого множителя отдельно, поскольку их произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
- Первый множитель: \( 2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0 \).
Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ 2y^2 + 5y - 3 = 0. \]
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 2, b = 5, c = -3 \).
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49. \]
Теперь находим корни:
\[ y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \] \[ y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3. \]
Так как \( \sin x \) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1, мы отбрасываем \( y_2 = -3 \). Таким образом, остаётся:
\[ \sin x = \frac{1}{2}. \]
Корни этого уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
- Второй множитель: \( \log_{12}(-\cos x) = 0 \).
Это уравнение выполняется, когда \( -\cos x = 1 \):
\[ \cos x = -1. \]
Это происходит при:
\[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, у нас есть два множителя, и их решения:
- \( \sin x = \frac{1}{2} \) даёт \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \).
- \( \cos x = -1 \) даёт \( x = \pi + 2k\pi \).
Общие решения:
- \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \).
- \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \).
- \( x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \).
Таким образом, окончательные решения уравнения включают все эти значения.
