Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4√3, образует с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь боковой поверхности. π=3,14

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, давайте начнем с того, что нам известно: диагональ осевого сечения равна \(4\sqrt{3}\) и угол с плоскостью основания составляет \(45^\circ\).

1. Найдем высоту цилиндра. В осевом сечении цилиндра можно нарисовать прямоугольный треугольник, где диагональ \(d = 4\sqrt{3}\) является гипотенузой, а высота цилиндра \(h\) и радиус основания цилиндра \(r\) образуют катеты. Угол между основанием и гипотенузой равен \(45^\circ\).

   Используя тригонометрию, мы можем сказать, что: \[ \sin(45^\circ) = \frac{h}{d} = \frac{h}{4\sqrt{3}} \]

   Поскольку \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{3}} \] Отсюда: \[ h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \]

2. Найдем радиус основания. Мы также знаем, что: \[ \cos(45^\circ) = \frac{r}{d} = \frac{r}{4\sqrt{3}} \] Поскольку \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{4\sqrt{3}} \] Отсюда: \[ r = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \]

3. Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности \(S\) цилиндра рассчитывается по формуле: \[ S = 2\pi rh \] Подставим найденные значения радиуса и высоты: \[ S = 2 \cdot \pi \cdot (2\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{6}) = 2 \cdot \pi \cdot 24 = 48\pi \]

   Теперь используем значение \(\pi = 3,14\): \[ S = 48 \cdot 3,14 = 150,72 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет \(150,72\) квадратных единиц.