1. Указать все первообразные корни степе- ни 24 из 1. 2. Найти 3√i

Давайте разберем оба ваших вопроса по математике.

1. Нахождение всех первообразных корней степени 24 из 1.

Первообразные корни n-й степени из 1 — это решения уравнения \( z^n = 1 \). В вашем случае \( n = 24 \). Эти корни можно найти, используя формулу:

\[ z_k = e^{\frac{2\pi i k}{n}} \text{ где } k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \]

Подставим \( n = 24 \):

\[ z_k = e^{\frac{2\pi i k}{24}} \text{ где } k = 0, 1, 2, \ldots, 23 \]

Таким образом, все первообразные корни 24-й степени из 1 будут:

• Для \( k = 0 \): \( z_0 = e^{0} = 1 \)
• Для \( k = 1 \): \( z_1 = e^{\frac{2\pi i}{24}} = e^{\frac{\pi i}{12}} \)
• Для \( k = 2 \): \( z_2 = e^{\frac{4\pi i}{24}} = e^{\frac{\pi i}{6}} \)
• Для \( k = 3 \): \( z_3 = e^{\frac{6\pi i}{24}} = e^{\frac{\pi i}{4}} \)
• Для \( k = 4 \): \( z_4 = e^{\frac{8\pi i}{24}} = e^{\frac{2\pi i}{3}} \)
• Для \( k = 5 \): \( z_5 = e^{\frac{10\pi i}{24}} = e^{\frac{5\pi i}{12}} \)
• Для \( k = 6 \): \( z_6 = e^{\frac{12\pi i}{24}} = e^{\frac{\pi i}{2}} = i \)
• Для \( k = 7 \): \( z_7 = e^{\frac{14\pi i}{24}} = e^{\frac{7\pi i}{12}} \)

И так далее до \( k = 23 \).

Итого, вы получите 24 корня, каждый из которых представляет собой угол, равномерно распределенный на круге в комплексной плоскости.

2. Найти \( \sqrt[3]{i} \)

Для нахождения кубического корня из комплексного числа \( i \), также можно использовать представление на комплексной плоскости. Комплексное число \( i \) можно записать в полярной форме:

\[ i = e^{i\frac{\pi}{2}} \]

Теперь применим ту же формулу для нахождения корней:

\[ z_k = e^{\frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right)} \text{ для } k = 0, 1, 2 \]

• Для \( k = 0 \): \[ z_0 = e^{\frac{\pi}{6}} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \]

• Для \( k = 1 \): \[ z_1 = e^{\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}} = e^{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \]

• Для \( k = 2 \): \[ z_2 = e^{\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}} = e^{\frac{3\pi}{2}} = -i \]

Таким образом, кубические корни из \( i \) будут:

• \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \)
• \( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \)
• \( -i \)

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!