Y= x/x+3 Задания 1 Найти область определения и область значения функции 2 Выяснить симметрию графика функции (чётность, нечётность, перио- дичность) 3. Выяснить периодичность функции 4 Найти точки пересечения графика функции с осями координат, полагая вначале x = 0 а затем решая уравнение y = 0 5 Найти точки разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты 6 Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции 7 Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба 8 Построить дополнительные точки и график функции по результа- там исследования

Давайте детально разберем функцию \( y = \frac{x}{x + 3} \) и выполним все заданные пункты по порядку.

1. Область определения и область значения функции.

   Область определения функции – это все значения \( x \), при которых функция определена. У нас деление, поэтому знаменатель не должен равняться нулю: \[ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 \] Таким образом, область определения: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \] Для нахождения области значения, рассмотрим пределы функции. При \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) функция стремится к 1 и -1, соответственно. Также при \( x = -3 \) функция не определена. Таким образом, область значения: \[ E = \left(-1, 1\right) \]

2. Симметрия графика функции (чётность, нечётность, периодичность).

   Для проверки чётности и нечётности нужно рассмотреть \( f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{-x}{-x + 3} = \frac{-x}{3 - x} \] Т.к. \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является чётной и не является нечётной. Периодичности у функции тоже нет, так как она не повторяется через равные промежутки.

3. Периодичность функции.

   Функция не является периодической, так как у неё нет повторяющихся значений при равных интервалах изменения аргумента.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

   • С осями \( y \) (когда \( x = 0 \)): \[ y = \frac{0}{0 + 3} = 0 \implies \text{Точка пересечения} (0, 0) \]
   • С осью \( x \) (при решении уравнения \( y = 0 \)): \[ 0 = \frac{x}{x + 3} \implies x = 0 \implies \text{Точка пересечения} (0, 0) \]

5. Найти точки разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

   • Вертикальные асимптоты: Функция разрывается при \( x = -3 \), там будет вертикальная асимптота.
   • Горизонтальная асимптота: При \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ y = 1 \text{ (горизонтальная асимптота)} \] Наклонных асимптот нет, так как горизонтальная асимптота у нас есть.

6. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

   Находим производную: \[ y' = \frac{(1)(x + 3) - (x)(1)}{(x + 3)^2} = \frac{3}{(x + 3)^2} \] Производная положительна для всех \( x \neq -3 \). Это означает, что функция возрастает на интервале: \[ (-\infty, -3) \cup (-3, \infty) \] Экстремумов нет, так как функция не сменяет направление.

7. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

   Находим вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{(x + 3)^2}\right) = \frac{-6}{(x + 3)^3} \] Вторая производная меняет знак при \( x = -3 \). Она положительна при \( x < -3 \) (выпуклая) и отрицательна при \( x > -3 \) (вогнутая). Точка перегиба в \( x = -3 \).

8. Построить дополнительные точки и график функции по результатам исследования.

   Исходя из результатов, мы можем построить график функции. Основные точки:

   • Точка пересечения с осью \( x \) и \( y \): (0, 0).
   • Вертикальная асимптота \( x = -3 \) (график не пересекает эту линию).
   • Горизонтальная асимптота \( y = 1 \).

График будет проходить непрерывно, возрастая до асимптоты \( y = 1 \) с обеих сторон от вертикальной асимптоты \( x = -3 \).

Если вам нужно больше информации или дополнительные графики, дайте знать!